Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngrd 18975
 Description: Properties that determine a division ring. 𝐼 (reciprocal) is normally dependent on 𝑥 i.e. read it as 𝐼(𝑥)." This version of isdrngd 18974 requires a right reciprocal instead of left. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isdrngd.z (𝜑0 = (0g𝑅))
isdrngd.u (𝜑1 = (1r𝑅))
isdrngd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o (𝜑10 )
isdrngd.i ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
isdrngd.j ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
isdrngrd.k ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngrd (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngrd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 eqid 2760 . . . . 5 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
3 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42, 3opprbas 18829 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
51, 4syl6eq 2810 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(oppr𝑅)))
6 eqidd 2761 . . 3 (𝜑 → (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅)))
7 isdrngd.z . . . 4 (𝜑0 = (0g𝑅))
8 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
92, 8oppr0 18833 . . . 4 (0g𝑅) = (0g‘(oppr𝑅))
107, 9syl6eq 2810 . . 3 (𝜑0 = (0g‘(oppr𝑅)))
11 isdrngd.u . . . 4 (𝜑1 = (1r𝑅))
12 eqid 2760 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
132, 12oppr1 18834 . . . 4 (1r𝑅) = (1r‘(oppr𝑅))
1411, 13syl6eq 2810 . . 3 (𝜑1 = (1r‘(oppr𝑅)))
15 isdrngd.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
162opprring 18831 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppr𝑅) ∈ Ring)
18 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
19 neeq1 2994 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦0𝑥0 ))
2018, 19anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵𝑦0 ) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 )))
21203anbi2d 1553 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 ))))
22 oveq1 6820 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) = (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑧))
2322neeq1d 2991 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
2421, 23imbi12d 333 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
25 eleq1w 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐵𝑧𝐵))
26 neeq1 2994 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥0𝑧0 ))
2725, 26anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝑥0 ) ↔ (𝑧𝐵𝑧0 )))
28273anbi3d 1554 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 ))))
29 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧))
3029neeq1d 2991 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
3128, 30imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
32 isdrngd.t . . . . . . . . . 10 (𝜑· = (.r𝑅))
33323ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → · = (.r𝑅))
3433oveqd 6830 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
35 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
36 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
373, 35, 2, 36opprmul 18826 . . . . . . . 8 (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝑦)
3834, 37syl6eqr 2812 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
39 isdrngd.n . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
4038, 39eqnetrrd 3000 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) ≠ 0 )
41403com23 1121 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) ≠ 0 )
4231, 41chvarv 2408 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 )
4324, 42chvarv 2408 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 )
44 isdrngd.o . . 3 (𝜑10 )
45 isdrngd.i . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
46 isdrngd.j . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
473, 35, 2, 36opprmul 18826 . . . 4 (𝐼(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝐼)
4832adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → · = (.r𝑅))
4948oveqd 6830 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑥 · 𝐼) = (𝑥(.r𝑅)𝐼))
50 isdrngrd.k . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )
5149, 50eqtr3d 2796 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝐼) = 1 )
5247, 51syl5eq 2806 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = 1 )
535, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 46, 52isdrngd 18974 . 2 (𝜑 → (oppr𝑅) ∈ DivRing)
542opprdrng 18973 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (oppr𝑅) ∈ DivRing)
5553, 54sylibr 224 1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  0gc0g 16302  1rcur 18701  Ringcrg 18747  opprcoppr 18822  DivRingcdr 18949 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951 This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  36789
 Copyright terms: Public domain W3C validator