Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn3 38282
Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn3.z 0 = (0g𝑅)
isdomn3.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isdomn3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2758 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 isdomn3.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdomn 19494 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
5 eqid 2758 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
65, 3isnzr 19459 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
76anbi1i 733 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
8 anass 684 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
97, 8bitri 264 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
101, 5ringidcl 18766 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
11 eldifsn 4460 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
1211baibr 983 . . . . . . 7 ((1r𝑅) ∈ 𝐵 → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
141, 2ringcl 18759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15143expb 1114 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
1615biantrurd 530 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 )))
17 eldifsn 4460 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
1816, 17syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1918imbi2d 329 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
20192ralbidva 3124 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
21 con34b 305 . . . . . . . . 9 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
22 neanior 3022 . . . . . . . . . 10 ((𝑥0𝑦0 ) ↔ ¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
23 df-ne 2931 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
2422, 23imbi12i 339 . . . . . . . . 9 (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
2521, 24bitr4i 267 . . . . . . . 8 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
26252ralbii 3117 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
27 impexp 461 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
28 an4 900 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
29 eldifsn 4460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
30 eldifsn 4460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
3129, 30anbi12i 735 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
3228, 31bitr4i 267 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3332imbi1i 338 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3427, 33bitr3i 266 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
35342albii 1895 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
36 r2al 3075 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
37 r2al 3075 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3835, 36, 373bitr4ri 293 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3920, 26, 383bitr4g 303 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
4013, 39anbi12d 749 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
41 isdomn3.u . . . . . . 7 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
4241ringmgp 18751 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
4341, 1mgpbas 18693 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑈)
4441, 5ringidval 18701 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (0g𝑈)
4541, 2mgpplusg 18691 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g𝑈)
4643, 44, 45issubm 17546 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
47 3anass 1081 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
4846, 47syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))))
49 difss 3878 . . . . . . . 8 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
5049biantrur 528 . . . . . . 7 (((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5148, 50syl6bbr 278 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5242, 51syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5340, 52bitr4d 271 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
5453pm5.32i 672 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
559, 54bitri 264 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
564, 55bitri 264 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072  wal 1628   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  cdif 3710  wss 3713  {csn 4319  cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  .rcmulr 16142  0gc0g 16300  Mndcmnd 17493  SubMndcsubmnd 17533  mulGrpcmgp 18687  1rcur 18699  Ringcrg 18745  NzRingcnzr 19457  Domncdomn 19480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-plusg 16154  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-nzr 19458  df-domn 19484
This theorem is referenced by:  deg1mhm  38285
  Copyright terms: Public domain W3C validator