MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscvsi 23149
Description: Properties that determine a subcomplex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvsp.t · = ( ·𝑠𝑊)
iscvsp.a + = (+g𝑊)
iscvsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
iscvsp.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
iscvsp.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
iscvsi.1 𝑊 ∈ Grp
iscvsi.2 𝑆 = (ℂflds 𝐾)
iscvsi.3 𝑆 ∈ DivRing
iscvsi.4 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)
iscvsi.5 (𝑥𝑉 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
iscvsi.6 ((𝑦𝐾𝑥𝑉) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)
iscvsi.7 ((𝑦𝐾𝑥𝑉𝑧𝑉) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
iscvsi.8 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → ((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)))
iscvsi.9 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
iscvsi 𝑊 ∈ ℂVec
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscvsi
StepHypRef Expression
1 iscvsi.1 . . 3 𝑊 ∈ Grp
2 iscvsi.3 . . . 4 𝑆 ∈ DivRing
3 iscvsi.2 . . . 4 𝑆 = (ℂflds 𝐾)
42, 3pm3.2i 470 . . 3 (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾))
5 iscvsi.4 . . 3 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)
61, 4, 53pm3.2i 1424 . 2 (𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7 iscvsi.5 . . . 4 (𝑥𝑉 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
8 iscvsi.6 . . . . . . 7 ((𝑦𝐾𝑥𝑉) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)
98ancoms 468 . . . . . 6 ((𝑥𝑉𝑦𝐾) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)
10 iscvsi.7 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐾𝑥𝑉𝑧𝑉) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
11103com12 1118 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑉𝑦𝐾𝑧𝑉) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
12113expa 1112 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
1312ralrimiva 3104 . . . . . 6 ((𝑥𝑉𝑦𝐾) → ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
14 iscvsi.8 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → ((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)))
15 iscvsi.9 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))
1614, 15jca 555 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐾𝑧𝐾𝑥𝑉) → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))
17163comr 1120 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑉𝑦𝐾𝑧𝐾) → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))
18173expa 1112 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝐾) → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))
1918ralrimiva 3104 . . . . . 6 ((𝑥𝑉𝑦𝐾) → ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))
209, 13, 193jca 1123 . . . . 5 ((𝑥𝑉𝑦𝐾) → ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
2120ralrimiva 3104 . . . 4 (𝑥𝑉 → ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
227, 21jca 555 . . 3 (𝑥𝑉 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
2322rgen 3060 . 2 𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
24 iscvsp.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
25 iscvsp.a . . 3 + = (+g𝑊)
26 iscvsp.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
27 iscvsp.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
28 iscvsp.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
2924, 25, 26, 27, 28iscvsp 23148 . 2 (𝑊 ∈ ℂVec ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑆 = (ℂflds 𝐾)) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
306, 23, 29mpbir2an 993 1 𝑊 ∈ ℂVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cfv 6049  (class class class)co 6814  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  Basecbs 16079  s cress 16080  +gcplusg 16163  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  Grpcgrp 17643  DivRingcdr 18969  SubRingcsubrg 18998  fldccnfld 19968  ℂVecccvs 23143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-subg 17812  df-cmn 18415  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lvec 19325  df-cnfld 19969  df-clm 23083  df-cvs 23144
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator