Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscrngd 18793
 Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isringd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isringd.p (𝜑+ = (+g𝑅))
isringd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isringd.g (𝜑𝑅 ∈ Grp)
isringd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isringd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isringd.d ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isringd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
isringd.u (𝜑1𝐵)
isringd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
isringd.h ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
iscrngd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
iscrngd (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iscrngd
StepHypRef Expression
1 isringd.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 isringd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝑅))
3 isringd.t . . 3 (𝜑· = (.r𝑅))
4 isringd.g . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 isringd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
6 isringd.a . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7 isringd.d . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8 isringd.e . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9 isringd.u . . 3 (𝜑1𝐵)
10 isringd.i . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11 isringd.h . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isringd 18792 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2770 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1513, 14mgpbas 18702 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
161, 15syl6eq 2820 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqid 2770 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1813, 17mgpplusg 18700 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
193, 18syl6eq 2820 . . 3 (𝜑· = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
2016, 19, 5, 6, 9, 10, 11ismndd 17520 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
21 iscrngd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
2216, 19, 20, 21iscmnd 18411 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2313iscrng 18761 . 2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
2412, 22, 23sylanbrc 564 1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  .rcmulr 16149  Grpcgrp 17629  CMndccmn 18399  mulGrpcmgp 18696  Ringcrg 18754  CRingccrg 18755 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-cmn 18401  df-mgp 18697  df-ring 18756  df-cring 18757 This theorem is referenced by:  cncrng  19981
 Copyright terms: Public domain W3C validator