Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscrct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscrct 26921
 Description: Sufficient and necessary conditions for a pair of functions to be a circuit (in an undirected graph): A pair of function "is" (represents) a circuit iff it is a closed trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
iscrct (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))

Proof of Theorem iscrct
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crcts 26919 . 2 (Circuits‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))}
2 fveq1 6331 . . . 4 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘0) = (𝑃‘0))
32adantl 467 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝‘0) = (𝑃‘0))
4 simpr 471 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
5 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
65adantr 466 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
74, 6fveq12d 6338 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
83, 7eqeq12d 2786 . 2 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → ((𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
9 reltrls 26826 . 2 Rel (Trails‘𝐺)
101, 8, 9brfvopabrbr 6421 1 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  0cc0 10138  ♯chash 13321  Trailsctrls 26822  Circuitsccrcts 26915 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-wlks 26730  df-trls 26824  df-crcts 26917 This theorem is referenced by:  crctprop  26923  cycliscrct  26930  crctcsh  26952  0crct  27313  eupth2eucrct  27397
 Copyright terms: Public domain W3C validator