MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet3 23289
Description: The property "𝐷 is a complete metric" expressed in terms of functions on (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on , and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
iscmet3 (𝜑 → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝐽   𝑓,𝑍   𝑓,𝑀   𝜑,𝑓

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21cmetcau 23285 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
32a1d 25 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
43ralrimiva 3102 . 2 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
5 iscmet3.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
65adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
7 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷))
8 1rp 12027 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
9 rphalfcl 12049 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
11 rpexpcl 13071 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
1210, 11mpan 708 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
13 cfili 23264 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+) → ∃𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
147, 12, 13syl2an 495 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
1514ralrimiva 3102 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∃𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
16 vex 3341 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
17 znnen 15138 . . . . . . . . 9 ℤ ≈ ℕ
18 nnenom 12971 . . . . . . . . 9 ℕ ≈ ω
1917, 18entri 8173 . . . . . . . 8 ℤ ≈ ω
20 raleq 3275 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑠𝑘) → (∀𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
2120raleqbi1dv 3283 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑠𝑘) → (∀𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
2216, 19, 21axcc4 9451 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ ℤ ∃𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → ∃𝑠(𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
2315, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑠(𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2524ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
2726uzenom 12955 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)
28 endom 8146 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ≈ ω → 𝑍 ≼ ω)
2925, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → 𝑍 ≼ ω)
30 dfin5 3721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( I ‘𝑋) ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)) = {𝑥 ∈ ( I ‘𝑋) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)}
31 fzn0 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀...𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3231biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑘) ≠ ∅)
3332, 26eleq2s 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘𝑍 → (𝑀...𝑘) ≠ ∅)
34 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → 𝑠:ℤ⟶𝑔)
35 elfzelz 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑛 ∈ ℤ)
36 ffvelrn 6518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠:ℤ⟶𝑔𝑛 ∈ ℤ) → (𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
3734, 35, 36syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
38 metxmet 22338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
395, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔) → 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷))
42 cfilfil 23263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
4340, 41, 42syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
44 filelss 21855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠𝑛) ∈ 𝑔) → (𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
4543, 44sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ (𝑠𝑛) ∈ 𝑔) → (𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
4637, 45syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
4746ralrimiva 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
48 r19.2z 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀...𝑘) ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
4933, 47, 48syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
50 iinss 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
526ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
53 elfvdm 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
54 fvi 6415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ dom Met → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
5651, 55sseqtr4d 3781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ ( I ‘𝑋))
57 sseqin2 3958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ ( I ‘𝑋) ↔ (( I ‘𝑋) ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
5856, 57sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → (( I ‘𝑋) ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
5930, 58syl5eqr 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → {𝑥 ∈ ( I ‘𝑋) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)} = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
6043adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
6137ralrimiva 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
6333adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑀...𝑘) ≠ ∅)
64 fzfid 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
65 iinfi 8486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔 ∧ (𝑀...𝑘) ≠ ∅ ∧ (𝑀...𝑘) ∈ Fin)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ (fi‘𝑔))
6660, 62, 63, 64, 65syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ (fi‘𝑔))
67 filfi 21862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝑔) = 𝑔)
6860, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → (fi‘𝑔) = 𝑔)
6966, 68eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
70 fileln0 21853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ≠ ∅)
7160, 69, 70syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ≠ ∅)
7259, 71eqnetrd 2997 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → {𝑥 ∈ ( I ‘𝑋) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)} ≠ ∅)
73 rabn0 4099 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥 ∈ ( I ‘𝑋) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
7472, 73sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
7574ralrimiva 3102 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → ∀𝑘𝑍𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
7675adantrrr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → ∀𝑘𝑍𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
77 fvex 6360 . . . . . . . . . . 11 ( I ‘𝑋) ∈ V
78 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑓𝑘) → (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ↔ (𝑓𝑘) ∈ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)))
79 fvex 6360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓𝑘) ∈ V
80 eliin 4675 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑘) ∈ V → ((𝑓𝑘) ∈ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑘) ∈ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))
8278, 81syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑓𝑘) → (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))
8377, 82axcc4dom 9453 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ≼ ω ∧ ∀𝑘𝑍𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))
8429, 76, 83syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))
85 df-ral 3053 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
86 19.29 1948 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑓(𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → ∃𝑓((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))))
8785, 86sylanb 490 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → ∃𝑓((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))))
8824ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
895ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
90 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋))
91 feq3 6187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( I ‘𝑋) = 𝑋 → (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ↔ 𝑓:𝑍𝑋))
9289, 53, 54, 914syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ↔ 𝑓:𝑍𝑋))
9390, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑓:𝑍𝑋)
94 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
9594simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
96 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (𝑠𝑘) = (𝑠𝑖))
97 oveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑖))
9897breq2d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
9996, 98raleqbidv 3289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑖)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
10096, 99raleqbidv 3289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑖)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑖)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
101100cbvralv 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑖)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑖)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
10295, 101sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑖)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑖)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
103 simprrr 824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))
104 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑗 → (𝑠𝑛) = (𝑠𝑗))
105104eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛) ↔ (𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑗)))
106105cbvralv 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛) ↔ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑗))
107 oveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑖))
108 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑖))
109108eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑗) ↔ (𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗)))
110107, 109raleqbidv 3289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑖)(𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗)))
111106, 110syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛) ↔ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑖)(𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗)))
112111cbvralv 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛) ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (𝑀...𝑖)(𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗))
113103, 112sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (𝑀...𝑖)(𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗))
11489, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
115 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷))
116114, 115, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
11794simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑠:ℤ⟶𝑔)
11826, 1, 88, 89, 93, 102, 113iscmet3lem1 23287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
119 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
120118, 93, 119mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
12126, 1, 88, 89, 93, 102, 113, 116, 117, 120iscmet3lem2 23288 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅)
122121ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → (((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
123122exlimdv 2008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → (∃𝑓((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
12487, 123syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → ((∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
125124expdimp 452 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → (∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
126125an32s 881 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → (∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
12784, 126mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅)
128127expr 644 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
129128exlimdv 2008 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (∃𝑠(𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
13023, 129mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅)
131130ralrimiva 3102 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → ∀𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅)
1321iscmet 23280 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
1336, 131, 132sylanbrc 701 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
134133ex 449 . 2 (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)))
1354, 134impbid2 216 1 (𝜑 → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1628   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  wrex 3049  {crab 3052  Vcvv 3338  cin 3712  wss 3713  c0 4056   ciin 4671   class class class wbr 4802   I cid 5171  dom cdm 5264  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  ωcom 7228  cen 8116  cdom 8117  Fincfn 8119  ficfi 8479  1c1 10127   < clt 10264   / cdiv 10874  cn 11210  2c2 11260  cz 11567  cuz 11877  +crp 12023  ...cfz 12517  cexp 13052  ∞Metcxmt 19931  Metcme 19932  MetOpencmopn 19936  𝑡clm 21230  Filcfil 21848   fLim cflim 21937  CauFilccfil 23248  Caucca 23249  CMetcms 23250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cc 9447  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-omul 7732  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-acn 8956  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ico 12372  df-fz 12518  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-rest 16283  df-topgen 16304  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-top 20899  df-topon 20916  df-bases 20950  df-ntr 21024  df-nei 21102  df-lm 21233  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-cfil 23251  df-cau 23252  df-cmet 23253
This theorem is referenced by:  iscmet2  23290  iscmet3i  23308  heibor1  33920  rrncms  33943
  Copyright terms: Public domain W3C validator