Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet2 23310
 Description: A metric 𝐷 is complete iff all Cauchy sequences converge to a point in the space. The proof uses countable choice. Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet2.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
iscmet2 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)))

Proof of Theorem iscmet2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 23302 . . 3 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2 iscmet2.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
32cmetcau 23305 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
43ex 397 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
54ssrdv 3756 . . 3 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽))
61, 5jca 495 . 2 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)))
7 ssel2 3745 . . . . . 6 (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
87a1d 25 . . . . 5 (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
98ralrimiva 3114 . . . 4 ((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
109adantl 467 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
11 nnuz 11924 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 11609 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → 1 ∈ ℤ)
13 simpl 468 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1411, 2, 12, 13iscmet3 23309 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
1510, 14mpbird 247 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
166, 15impbii 199 1 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060   ⊆ wss 3721  dom cdm 5249  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  1c1 10138  ℕcn 11221  Metcme 19946  MetOpencmopn 19950  ⇝𝑡clm 21250  Caucca 23269  CMetcms 23270 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-ntr 21044  df-nei 21122  df-lm 21253  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-cfil 23271  df-cau 23272  df-cmet 23273 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator