Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  isch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isch3 28226
 Description: A Hilbert subspace is closed iff it is complete. A complete subspace is one in which every Cauchy sequence of vectors in the subspace converges to a member of the subspace (Definition of complete subspace in [Beran] p. 96). Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 24-Dec-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isch3 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch3
StepHypRef Expression
1 isch2 28208 . 2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
2 ax-hcompl 28187 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
3 rexex 3031 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
5 19.29 1841 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
64, 5sylan2 490 . . . . . . . 8 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
7 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
87imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑥𝐻)
98an12s 860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑥𝐻)
10 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑓𝑣 𝑥)
119, 10jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥))
1211ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ((((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1312eximdv 1886 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1413com12 32 . . . . . . . . 9 (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
15 df-rex 2947 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥))
1614, 15syl6ibr 242 . . . . . . . 8 (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
176, 16syl 17 . . . . . . 7 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
1817ex 449 . . . . . 6 (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
19 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑥 𝑓 ∈ Cauchy
20 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑓:ℕ⟶𝐻
21 nfre1 3034 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥
2220, 21nfim 1865 . . . . . . . 8 𝑥(𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)
2319, 22nfim 1865 . . . . . . 7 𝑥(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
24 bi2.04 375 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
25 hlimcaui 28221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ Cauchy)
2625imim1i 63 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
27 rexex 3031 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
28 hlimeui 28225 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
30 exancom 1827 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3115, 30sylbb 209 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
32 eupick 2565 . . . . . . . . . . . 12 ((∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥 ∧ ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)) → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3329, 31, 32syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3426, 33syli 39 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3534imim2i 16 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)))
3624, 35sylbi 207 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)))
3736impd 446 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3823, 37alrimi 2120 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → ∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3918, 38impbii 199 . . . . 5 (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
4039albii 1787 . . . 4 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
41 df-ral 2946 . . . 4 (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
4240, 41bitr4i 267 . . 3 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
4342anbi2i 730 . 2 ((𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)) ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
441, 43bitri 264 1 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383  ∀wal 1521  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030  ∃!weu 2498  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ℕcn 11058   ℋchil 27904  Cauchyccau 27911   ⇝𝑣 chli 27912   Sℋ csh 27913   Cℋ cch 27914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-lm 21081  df-haus 21167  df-cau 23100  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-hnorm 27953  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-ch 28206 This theorem is referenced by:  chcompl  28227  occl  28291
 Copyright terms: Public domain W3C validator