Theorem isch2 28414

Description: Closed subspace 𝐻 of a Hilbert space. Definition of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
isch2	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 28413	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻))
2		alcom 2192	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
3		19.23v 2022	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
4		vex 3352	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elima2 5613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
6	5	imbi1i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
7	3, 6	bitr4i 267	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
8	7	albii 1894	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
9		dfss2 3738	. . . . . 6 ⊢ (( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) → 𝑥 ∈ 𝐻))
10	8, 9	bitr4i 267	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻)
11	2, 10	bitri 264	. . . 4 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻)
12		nnex 11227	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
13		elmapg 8021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
14	12, 13	mpan2 663	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
15	14	anbi1d 607	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
16	15	imbi1d 330	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
17	16	2albidv 2002	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (∀𝑓∀𝑥((𝑓 ∈ (𝐻 ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
18	11, 17	syl5bbr 274	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
19	18	pm5.32i 556	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻) ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
20	1, 19	bitri 264	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382  ∀wal 1628  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ⊆ wss 3721   class class class wbr 4784   “ cima 5252  ⟶wf 6027  (class class class)co 6792   ↑_𝑚 cmap 8008  ℕcn 11221   ⇝_𝑣 chli 28118   S_ℋ csh 28119   C_ℋ cch 28120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-map 8010  df-nn 11222  df-ch 28412

This theorem is referenced by:  chlimi  28425  isch3  28432  helch  28434  hsn0elch  28439  chintcli  28524  chscl  28834  nlelchi  29254  hmopidmchi  29344