MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgrad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscgrad 25924
Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgra.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a (𝜑𝐴𝑃)
iscgra.b (𝜑𝐵𝑃)
iscgra.c (𝜑𝐶𝑃)
iscgra.d (𝜑𝐷𝑃)
iscgra.e (𝜑𝐸𝑃)
iscgra.f (𝜑𝐹𝑃)
iscgrad.x (𝜑𝑋𝑃)
iscgrad.y (𝜑𝑌𝑃)
iscgrad.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
iscgrad.2 (𝜑𝑋(𝐾𝐸)𝐷)
iscgrad.3 (𝜑𝑌(𝐾𝐸)𝐹)
Assertion
Ref Expression
iscgrad (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem iscgrad
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscgrad.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
2 iscgrad.y . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
3 iscgrad.1 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
4 iscgrad.2 . . . 4 (𝜑𝑋(𝐾𝐸)𝐷)
5 iscgrad.3 . . . 4 (𝜑𝑌(𝐾𝐸)𝐹)
63, 4, 53jca 1122 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹))
7 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
8 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝐸 = 𝐸)
9 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑦)
107, 8, 9s3eqd 13818 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩)
1110breq2d 4798 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩))
12 breq1 4789 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑋(𝐾𝐸)𝐷))
1311, 123anbi12d 1548 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
14 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝑋 = 𝑋)
15 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝐸 = 𝐸)
16 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝑦 = 𝑌)
1714, 15, 16s3eqd 13818 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
1817breq2d 4798 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩))
19 breq1 4789 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦(𝐾𝐸)𝐹𝑌(𝐾𝐸)𝐹))
2018, 193anbi13d 1549 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹)))
2113, 20rspc2ev 3474 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹)) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
221, 2, 6, 21syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
23 iscgra.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
24 iscgra.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
25 iscgra.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
26 iscgra.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
27 iscgra.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
28 iscgra.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
29 iscgra.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
30 iscgra.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
31 iscgra.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
32 iscgra.f . . 3 (𝜑𝐹𝑃)
3323, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32iscgra 25922 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
3422, 33mpbird 247 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  ⟨“cs3 13796  Basecbs 16064  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  cgrGccgrg 25626  hlGchlg 25716  cgrAccgra 25920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-cgra 25921
This theorem is referenced by:  cgrahl1  25929  cgrahl2  25930  cgraid  25932  cgrcgra  25934  dfcgra2  25942  sacgr  25943  tgsas2  25958  tgsas3  25959  tgasa1  25960  tgsss1  25962
  Copyright terms: Public domain W3C validator