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Theorem iscau3 23294
Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscau3.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
iscau3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑚,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem iscau3
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 iscau2 23293 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
41adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 ssid 3771 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ
6 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
7 eleq1 2837 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
8 eleq1 2837 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋))
9 xmetsym 22371 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
109fveq2d 6336 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
11 xmetsym 22371 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
1211fveq2d 6336 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
13 simp1 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simp2l 1240 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
15 simp3l 1242 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
16 xmetcl 22355 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ*)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ*)
18 simp2r 1241 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑚) ∈ 𝑋)
19 xmetcl 22355 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
2013, 15, 18, 19syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
21 simp3r 1243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2221rehalfcld 11480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2322rexrd 10290 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)
24 xlt2add 12294 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
2517, 20, 23, 23, 24syl22anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
26 rexadd 12267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
2722, 22, 26syl2anc 565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
2821recnd 10269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
29282halvesd 11479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
3027, 29eqtrd 2804 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = 𝑥)
3130breq2d 4796 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
32 xmettri 22375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
3313, 14, 18, 15, 32syl13anc 1477 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
34 xmetcl 22355 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
3513, 14, 18, 34syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
3617, 20xaddcld 12335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∈ ℝ*)
3721rexrd 10290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
38 xrlelttr 12191 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4033, 39mpand 667 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4131, 40sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4225, 41syld 47 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
43 ovex 6822 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ V
44 fvi 6397 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))
4645breq1i 4791 . . . . . . . . 9 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2))
47 ovex 6822 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V
48 fvi 6397 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))
5049breq1i 4791 . . . . . . . . 9 (( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2))
5146, 50anbi12i 604 . . . . . . . 8 ((( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)))
52 ovex 6822 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V
53 fvi 6397 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))
5554breq1i 4791 . . . . . . . 8 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
5642, 51, 553imtr4g 285 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
575, 6, 7, 8, 10, 12, 56cau3lem 14301 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
584, 57syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
5945breq1i 4791 . . . . . . . . . 10 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)
6059anbi2i 601 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
61 df-3an 1072 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6260, 61bitr4i 267 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6362ralbii 3128 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6463rexbii 3188 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6564ralbii 3128 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6655ralbii 3128 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
6766anbi2i 601 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
68 df-3an 1072 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6967, 68bitr4i 267 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7069ralbii 3128 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7170rexbii 3188 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7271ralbii 3128 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7358, 65, 723bitr3g 302 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
74 iscau3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7574adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
76 iscau3.2 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
7776rexuz3 14295 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7875, 77syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7978ralbidv 3134 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
8073, 79bitr4d 271 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
8180pm5.32da 560 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
823, 81bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  Vcvv 3349   class class class wbr 4784   I cid 5156  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6792  pm cpm 8009  cc 10135  cr 10136   + caddc 10140  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276   / cdiv 10885  2c2 11271  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034   +𝑒 cxad 12148  ∞Metcxmt 19945  Caucca 23269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-2 11280  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-bl 19955  df-cau 23272
This theorem is referenced by:  iscau4  23295  caucfil  23299  cmetcaulem  23304  heibor1lem  33933
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