MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscau2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscau2 23296
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷," using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 23295 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
2 elfvdm 6383 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 10230 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
4 elpmg 8042 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 697 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
65simprbda 654 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → Fun 𝐹)
7 ffvresb 6559 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
98rexbidv 3191 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
109adantr 472 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
11 uzid 11915 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1211adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
13 eleq1w 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
14 fveq2 6354 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)))
1613, 15anbi12d 749 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
1716rspcv 3446 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
19 n0i 4064 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → ¬ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
20 blf 22434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21 fdm 6213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
23 ndmovg 6984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) ∧ ¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*)) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
2423ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) → (¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
2625con1d 139 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*)))
27 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
2819, 26, 27syl56 36 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
2928adantld 484 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3029ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3118, 30syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3214eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3314oveq1d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)))
3433breq1d 4815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
3513, 32, 343anbi123d 1548 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
3635rspcv 3446 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
3712, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
38 simp2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
3937, 38syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
40 rpxr 12054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
41 elbl 22415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
4240, 41syl3an3 1170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
43 xmetsym 22374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
44433expa 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
45443adantl3 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4645breq1d 4815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
4746pm5.32da 676 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
4842, 47bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
49483com23 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5049anbi2d 742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
51 3anass 1081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5250, 51syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5352ralbidv 3125 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
54533expia 1115 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
5554adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
5631, 39, 55pm5.21ndd 368 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5756rexbidva 3188 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5857adantlr 753 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5910, 58bitrd 268 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
6059ralbidva 3124 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
6160pm5.32da 676 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
621, 61bitrd 268 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  wrex 3052  Vcvv 3341  wss 3716  c0 4059  𝒫 cpw 4303   class class class wbr 4805   × cxp 5265  dom cdm 5267  cres 5269  Fun wfun 6044  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  pm cpm 8027  cc 10147  *cxr 10286   < clt 10287  cz 11590  cuz 11900  +crp 12046  ∞Metcxmt 19954  ballcbl 19956  Caucca 23272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-neg 10482  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-xadd 12161  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-bl 19964  df-cau 23275
This theorem is referenced by:  iscau3  23297  iscau4  23298  caun0  23300  caussi  23316
  Copyright terms: Public domain W3C validator