Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd3 33713
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isbnd3
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndmet 33710 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
2 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
32ne0ii 3956 . . . . 5 ℝ ≠ ∅
4 metf 22182 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
5 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
71, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
87ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
91, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
10 fdm 6089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → dom 𝑀 = (𝑋 × 𝑋))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → dom 𝑀 = (𝑋 × 𝑋))
12 xpeq2 5163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × ∅))
13 xp0 5587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 × ∅) = ∅
1412, 13syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = ∅)
1511, 14sylan9eq 2705 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → dom 𝑀 = ∅)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → dom 𝑀 = ∅)
17 dm0rn0 5374 . . . . . . . . 9 (dom 𝑀 = ∅ ↔ ran 𝑀 = ∅)
1816, 17sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 = ∅)
19 0ss 4005 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (0[,]𝑥)
2018, 19syl6eqss 3688 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥))
21 df-f 5930 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥)))
228, 20, 21sylanbrc 699 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
2322ralrimiva 2995 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
24 r19.2z 4093 . . . . 5 ((ℝ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
253, 23, 24sylancr 696 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
26 isbnd2 33712 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
2726simprbi 479 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
28 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
29 simprlr 820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3029rpred 11910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
31 remulcl 10059 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
3228, 30, 31sylancr 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
336adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
34 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
35 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥𝑋)
36 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧𝑋)
37 metcl 22184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
39 metge0 22197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
4034, 35, 36, 39syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
4132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
42 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑦𝑋)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑦𝑋)
44 metcl 22184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
4534, 43, 35, 44syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
46 metcl 22184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4734, 43, 36, 46syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4845, 47readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) ∈ ℝ)
49 mettri2 22193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
5034, 43, 35, 36, 49syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
5130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
52 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
5335, 52eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
54 metxmet 22186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5534, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
56 rpxr 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
5756ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
5857ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
59 elbl2 22242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
6055, 58, 43, 35, 59syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
6153, 60mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟)
6236, 52eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
63 elbl2 22242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
6455, 58, 43, 36, 63syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
6562, 64mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟)
6645, 47, 51, 51, 61, 65lt2addd 10688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (𝑟 + 𝑟))
6751recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℂ)
68672timesd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (2 · 𝑟) = (𝑟 + 𝑟))
6966, 68breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (2 · 𝑟))
7038, 48, 41, 50, 69lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) < (2 · 𝑟))
7138, 41, 70ltled 10223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))
72 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
732, 41, 72sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
7438, 40, 71, 73mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
7574ralrimivva 3000 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
76 ffnov 6806 . . . . . . . . . . 11 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟))))
7733, 75, 76sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)))
78 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (2 · 𝑟) → (0[,]𝑥) = (0[,](2 · 𝑟)))
7978feq3d 6070 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (2 · 𝑟) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))))
8079rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
8132, 77, 80syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
8281expr 642 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8382rexlimdvva 3067 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
841, 83syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8584adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8627, 85mpd 15 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
8725, 86pm2.61dane 2910 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
881, 87jca 553 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
89 simpll 805 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
90 simpllr 815 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
9189adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
92 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
93 met0 22195 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
9491, 92, 93syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
95 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
9695, 92, 92fovrnd 6848 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥))
97 elicc2 12276 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
982, 90, 97sylancr 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
9996, 98mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥))
10099simp3d 1095 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)
10194, 100eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ 𝑥)
10290, 101ge0p1rpd 11940 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
103 fovrn 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
1041033expa 1284 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
105104adantlll 754 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
106 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
1072, 90, 106sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
109105, 108mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
110109simp1d 1093 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
11190adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
112 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
11390, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
114113adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
115109simp3d 1095 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)
116111ltp1d 10992 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
117110, 111, 114, 115, 116lelttrd 10233 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
118117ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
119 rabid2 3148 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)} ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
120118, 119sylibr 224 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
12191, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
122113rexrd 10127 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
123 blval 22238 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
124121, 92, 122, 123syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
125120, 124eqtr4d 2688 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
126 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑥 + 1) → (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
127126eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑥 + 1) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1))))
128127rspcev 3340 . . . . . 6 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ+𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
129102, 125, 128syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
130129ralrimiva 2995 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
131 isbnd 33709 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
13289, 130, 131sylanbrc 699 . . 3 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
133132r19.29an 3106 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
13488, 133impbii 199 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  +crp 11870  [,]cicc 12216  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  ballcbl 19781  Bndcbnd 33696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-bnd 33708
This theorem is referenced by:  isbnd3b  33714  prdsbnd  33722
  Copyright terms: Public domain W3C validator