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Theorem isbnd2 33712
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 33711 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
21anbi1i 731 . 2 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
3 anass 682 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
4 r19.2z 4093 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
54ancoms 468 . . . 4 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
6 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
76eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
8 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠))
98eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)))
107, 9cbvrex2v 3210 . . . . . 6 (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠))
11 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
12 rpmulcl 11893 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
1311, 12mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
1413ad2antll 765 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
1514ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
16 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℂ)
17 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
18 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
20 divcan3 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑠) / 2) = 𝑠)
2120eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → 𝑠 = ((2 · 𝑠) / 2))
2216, 17, 19, 21syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 = ((2 · 𝑠) / 2))
2322oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
2423eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) ↔ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2524biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2625ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
2827imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
29 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
30 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))))
3130biimpac 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))
32 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
33 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ)
34 remulcl 10059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ)
3532, 33, 34sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈ ℝ)
36 blhalf 22257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ ((2 · 𝑠) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
3736expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
3835, 37sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
3938anasss 680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
4039imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4131, 40sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4241anassrs 681 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4329, 42eqsstrd 3672 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)((2 · 𝑠) / 2))) → 𝑋 ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4428, 43syldan 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 ⊆ (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
4513adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑠) ∈ ℝ+)
46 rpxr 11878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑠) ∈ ℝ+ → (2 · 𝑠) ∈ ℝ*)
47 blssm 22270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
4846, 47syl3an3 1401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
49483expa 1284 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (2 · 𝑠) ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5045, 49sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5150an32s 863 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)) ⊆ 𝑋)
5344, 52eqssd 3653 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
54 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (2 · 𝑠) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠)))
5554eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (2 · 𝑠) → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))))
5655rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑠) ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)(2 · 𝑠))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
5715, 53, 56syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
5857ex 449 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
5958ralrimdva 2998 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
6059rexlimdvva 3067 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑠 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑠) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
6110, 60syl5bi 232 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
62 rexn0 4107 . . . . . 6 (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑋 ≠ ∅)
6362a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑋 ≠ ∅))
6461, 63jcad 554 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
655, 64impbid2 216 . . 3 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
6665pm5.32i 670 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
672, 3, 663bitri 286 1 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  *cxr 10111   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  Bndcbnd 33696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-bnd 33708
This theorem is referenced by:  isbnd3  33713  blbnd  33716  ssbnd  33717
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