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Theorem isacs4lem 17290
Description: In a closure system in which directed unions of closed sets are closed, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isacs4lem ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡

Proof of Theorem isacs4lem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2 elpwi 4276 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑡 ⊆ 𝒫 𝑋)
32ad2antrl 766 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑋)
4 acsdrscl.f . . . . . . . 8 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
54mrcuni 16404 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐹 𝑡) = (𝐹 (𝐹𝑡)))
61, 3, 5syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹 𝑡) = (𝐹 (𝐹𝑡)))
74mrcf 16392 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
87ffnd 6159 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹 Fn 𝒫 𝑋)
98adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → 𝐹 Fn 𝒫 𝑋)
10 simpll 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑋)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
11 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑋)) → 𝑥𝑦)
12 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
1310, 4, 11, 12mrcssd 16407 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑋)) → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑦))
14 simprr 813 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)
152ad2antrl 766 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑋)
16 fvex 6314 . . . . . . . . . . . . 13 (mrCls‘𝐶) ∈ V
174, 16eqeltri 2799 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 ∈ V
1817imaex 7221 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑡) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
209, 13, 14, 15, 19ipodrsima 17287 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset)
2120adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset)
22 imassrn 5587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑡) ⊆ ran 𝐹
23 frn 6166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝒫 𝑋𝐶 → ran 𝐹𝐶)
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ran 𝐹𝐶)
2522, 24syl5ss 3720 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐹𝑡) ⊆ 𝐶)
2618elpw 4272 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑡) ∈ 𝒫 𝐶 ↔ (𝐹𝑡) ⊆ 𝐶)
2725, 26sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐹𝑡) ∈ 𝒫 𝐶)
2827ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹𝑡) ∈ 𝒫 𝐶)
29 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
30 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝐹𝑡) → (toInc‘𝑠) = (toInc‘(𝐹𝑡)))
3130eleq1d 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐹𝑡) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ↔ (toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset))
32 unieq 4552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝐹𝑡) → 𝑠 = (𝐹𝑡))
3332eleq1d 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐹𝑡) → ( 𝑠𝐶 (𝐹𝑡) ∈ 𝐶))
3431, 33imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐹𝑡) → (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶) ↔ ((toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset → (𝐹𝑡) ∈ 𝐶)))
3534rspcva 3411 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑡) ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → ((toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset → (𝐹𝑡) ∈ 𝐶))
3628, 29, 35syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → ((toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset → (𝐹𝑡) ∈ 𝐶))
3721, 36mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹𝑡) ∈ 𝐶)
384mrcid 16396 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝐹𝑡) ∈ 𝐶) → (𝐹 (𝐹𝑡)) = (𝐹𝑡))
391, 37, 38syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹 (𝐹𝑡)) = (𝐹𝑡))
406, 39eqtrd 2758 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))
4140exp32 632 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
4241ralrimiv 3067 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
4342ex 449 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
4443imdistani 728 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  Vcvv 3304  wss 3680  𝒫 cpw 4266   cuni 4544  ran crn 5219  cima 5221   Fn wfn 5996  wf 5997  cfv 6001  Moorecmre 16365  mrClscmrc 16366  Dirsetcdrs 17049  toInccipo 17273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ocomp 16086  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-preset 17050  df-drs 17051  df-poset 17068  df-ipo 17274
This theorem is referenced by:  acsdrscl  17292  acsficl  17293  isacs5  17294  isacs4  17295  isacs3  17296
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