MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredrmul 18753
Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredrmul.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
irredrmul.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
irredrmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredrmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1082 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑋𝐼)
2 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simp3 1083 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
4 irredrmul.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (/r𝑅) = (/r𝑅)
64, 5unitdvcl 18733 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
763com23 1291 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈 ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
873expia 1286 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
92, 3, 8syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
10 irredn0.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Irred‘𝑅)
11 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1210, 11irredcl 18750 . . . . . . . 8 (𝑋𝐼𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
13123ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
14 irredrmul.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
1511, 4, 5, 14dvrcan3 18738 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) = 𝑋)
162, 13, 3, 15syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) = 𝑋)
1716eleq1d 2715 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈))
189, 17sylibd 229 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈))
192ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑅 ∈ Ring)
20 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
2120ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
223ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑌𝑈)
2311, 4, 5dvrcl 18732 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈) → (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
25 eldifn 3766 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → ¬ 𝑦𝑈)
2625ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ 𝑦𝑈)
274, 14unitmulcl 18710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈𝑌𝑈) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
28273com23 1291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈 ∧ (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
29283expia 1286 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
3019, 22, 29syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
3111, 4, 5, 14dvrcan1 18737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
3219, 21, 22, 31syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
3332eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈𝑦𝑈))
3430, 33sylibd 229 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈𝑦𝑈))
3526, 34mtod 189 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
3624, 35eldifd 3618 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈))
37 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
3837oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r𝑅)𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌))
39 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4039ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4111, 4, 5, 14dvrass 18736 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈)) → ((𝑥 · 𝑦)(/r𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)))
4219, 40, 21, 22, 41syl13anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)))
4316ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) = 𝑋)
4438, 42, 433eqtr3d 2693 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)) = 𝑋)
45 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦(/r𝑅)𝑌) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)))
4645eqeq1d 2653 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦(/r𝑅)𝑌) → ((𝑥 · 𝑧) = 𝑋 ↔ (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)) = 𝑋))
4746rspcev 3340 . . . . . . 7 (((𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)) = 𝑋) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
4836, 44, 47syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
4948rexlimdvaa 3061 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
5049reximdva 3046 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
5118, 50orim12d 901 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌)) → (𝑋𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
5211, 4unitcl 18705 . . . . . 6 (𝑌𝑈𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
53523ad2ant3 1104 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
5411, 14ringcl 18607 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
552, 13, 53, 54syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
56 eqid 2651 . . . . 5 ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) = ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)
5711, 4, 10, 56, 14isnirred 18746 . . . 4 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
5855, 57syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
5911, 4, 10, 56, 14isnirred 18746 . . . 4 (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 𝑋𝐼 ↔ (𝑋𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
6013, 59syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (¬ 𝑋𝐼 ↔ (𝑋𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
6151, 58, 603imtr4d 283 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 → ¬ 𝑋𝐼))
621, 61mt4d 152 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  cdif 3604  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  Ringcrg 18593  Unitcui 18685  Irredcir 18686  /rcdvr 18728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-irred 18689  df-invr 18718  df-dvr 18729
This theorem is referenced by:  irredlmul  18754  irredneg  18756
  Copyright terms: Public domain W3C validator