MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredlmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredlmul 18908
Description: The product of a unit and an irreducible element is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredrmul.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
irredrmul.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
irredlmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredlmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 irredrmul.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 eqid 2760 . . 3 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
4 eqid 2760 . . 3 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
51, 2, 3, 4opprmul 18826 . 2 (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
63opprring 18831 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
7 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irred‘𝑅)
83, 7opprirred 18902 . . . . 5 𝐼 = (Irred‘(oppr𝑅))
9 irredrmul.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
109, 3opprunit 18861 . . . . 5 𝑈 = (Unit‘(oppr𝑅))
118, 10, 4irredrmul 18907 . . . 4 (((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑌𝐼𝑋𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) ∈ 𝐼)
126, 11syl3an1 1167 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐼𝑋𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) ∈ 𝐼)
13123com23 1121 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝐼) → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) ∈ 𝐼)
145, 13syl5eqelr 2844 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  Ringcrg 18747  opprcoppr 18822  Unitcui 18839  Irredcir 18840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-irred 18843  df-invr 18872  df-dvr 18883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator