Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem3 37882
Description: Lemma for irrapx1 37886. By subtraction, there is a multiple very close to an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 irrapxlem2 37881 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐵)∃𝑏 ∈ (0...𝐵)(𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵)))
2 1m1e0 11273 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
3 elfzelz 12527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ)
43ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑎 ∈ ℤ)
54zred 11666 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑎 ∈ ℝ)
6 elfzelz 12527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (0...𝐵) → 𝑏 ∈ ℤ)
76ad2antll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑏 ∈ ℤ)
87zred 11666 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑏 ∈ ℝ)
95, 8posdifd 10798 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
109biimpa 502 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 < (𝑏𝑎))
112, 10syl5eqbr 4831 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (1 − 1) < (𝑏𝑎))
12 1z 11591 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
13 simplrr 820 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...𝐵))
1413, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
15 simplrl 819 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (0...𝐵))
1615, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
1714, 16zsubcld 11671 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ ℤ)
18 zlem1lt 11613 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑎) ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑏𝑎) ↔ (1 − 1) < (𝑏𝑎)))
1912, 17, 18sylancr 698 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (1 ≤ (𝑏𝑎) ↔ (1 − 1) < (𝑏𝑎)))
2011, 19mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 1 ≤ (𝑏𝑎))
2114zred 11666 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
2216zred 11666 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 10642 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
24 0red 10225 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ∈ ℝ)
2521, 24resubcld 10642 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏 − 0) ∈ ℝ)
26 simpllr 817 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐵 ∈ ℕ)
2726nnred 11219 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ)
28 elfzle1 12529 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 0 ≤ 𝑎)
2915, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
3024, 22, 21, 29lesub2dd 10828 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ≤ (𝑏 − 0))
3121recnd 10252 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ)
3231subid1d 10565 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏 − 0) = 𝑏)
33 elfzle2 12530 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0...𝐵) → 𝑏𝐵)
3413, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏𝐵)
3532, 34eqbrtrd 4818 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏 − 0) ≤ 𝐵)
3623, 25, 27, 30, 35letrd 10378 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ≤ 𝐵)
3712a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 1 ∈ ℤ)
3826nnzd 11665 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐵 ∈ ℤ)
39 elfz 12517 . . . . . . . 8 (((𝑏𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵) ↔ (1 ≤ (𝑏𝑎) ∧ (𝑏𝑎) ≤ 𝐵)))
4017, 37, 38, 39syl3anc 1473 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵) ↔ (1 ≤ (𝑏𝑎) ∧ (𝑏𝑎) ≤ 𝐵)))
4120, 36, 40mpbir2and 995 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵))
4241adantrr 755 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → (𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵))
43 rpre 12024 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
4443ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
4544, 22remulcld 10254 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ)
4644, 21remulcld 10254 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
47 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
4822, 21, 47ltled 10369 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎𝑏)
49 rpgt0 12029 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
5049ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 < 𝐴)
51 lemul2 11060 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏)))
5222, 21, 44, 50, 51syl112anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎𝑏 ↔ (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏)))
5348, 52mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏))
54 flword2 12800 . . . . . . . 8 (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏)) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
5545, 46, 53, 54syl3anc 1473 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
56 uznn0sub 11904 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0)
5755, 56syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0)
5857adantrr 755 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0)
5944recnd 10252 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℂ)
6022recnd 10252 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ)
6159, 31, 60subdid 10670 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · (𝑏𝑎)) = ((𝐴 · 𝑏) − (𝐴 · 𝑎)))
6261oveq1d 6820 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) − (𝐴 · 𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))))
6346recnd 10252 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℂ)
6445recnd 10252 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℂ)
6546flcld 12785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ ℤ)
6665zcnd 11667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ ℂ)
6745flcld 12785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑎)) ∈ ℤ)
6867zcnd 11667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑎)) ∈ ℂ)
6963, 64, 66, 68sub4d 10625 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (((𝐴 · 𝑏) − (𝐴 · 𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))) − ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))))
70 modfrac 12869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) = ((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))))
7146, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) = ((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))))
7271eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))) = ((𝐴 · 𝑏) mod 1))
73 modfrac 12869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
7445, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
7574eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) = ((𝐴 · 𝑎) mod 1))
7672, 75oveq12d 6823 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))) − ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
7762, 69, 763eqtrd 2790 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
7877fveq2d 6348 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) = (abs‘(((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1))))
79 1rp 12021 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 1 ∈ ℝ+)
8146, 80modcld 12860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) ∈ ℝ)
8281recnd 10252 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) ∈ ℂ)
8345, 80modcld 12860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ)
8483recnd 10252 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℂ)
8582, 84abssubd 14383 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (abs‘(((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) = (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))))
8678, 85eqtr2d 2787 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) = (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))))
8786breq1d 4806 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)))
8887biimpd 219 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)))
8988impr 650 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵))
90 oveq2 6813 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑏𝑎) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑏𝑎)))
9190oveq1d 6820 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑏𝑎) → ((𝐴 · 𝑥) − 𝑦) = ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦))
9291fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑏𝑎) → (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) = (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)))
9392breq1d 4806 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑏𝑎) → ((abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)) < (1 / 𝐵)))
94 oveq2 6813 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦) = ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))))
9594fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑦 = ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)) = (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))))
9695breq1d 4806 . . . . . 6 (𝑦 = ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → ((abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)))
9793, 96rspc2ev 3455 . . . . 5 (((𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵) ∧ ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
9842, 58, 89, 97syl3anc 1473 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
9998ex 449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵)))
10099rexlimdvva 3168 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ (0...𝐵)∃𝑏 ∈ (0...𝐵)(𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵)))
1011, 100mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wrex 3043   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450   / cdiv 10868  cn 11204  0cn0 11476  cz 11561  cuz 11871  +crp 12017  ...cfz 12511  cfl 12777   mod cmo 12854  abscabs 14165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-ico 12366  df-fz 12512  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167
This theorem is referenced by:  irrapxlem4  37883
  Copyright terms: Public domain W3C validator