Theorem irrapx1 37918

Description: Dirichlet's approximation theorem. Every positive irrational number has infinitely many rational approximations which are closer than the inverse squares of their reduced denominators. Lemma 61 in [vandenDries] p. 42. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
irrapx1	⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)

Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem irrapx1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnnen 15148	. . . 4 ⊢ ℚ ≈ ℕ
2		nnenom 12987	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
3	1, 2	entri 8163	. . 3 ⊢ ℚ ≈ ω
4	3, 2	pm3.2i 447	. 2 ⊢ (ℚ ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω)
5		ssrab2 3836	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ
6		qssre 12001	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3761	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ)
9		eldifi 3883	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10	9	rpred 12075	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		eldifn 3884	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
12		elrabi 3510	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} → 𝐴 ∈ ℚ)
13	11, 12	nsyl 137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
14		irrapxlem6 37917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
15	9, 14	sylan 569	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
16	15	ralrimiva 3115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
17		rencldnfi 37911	. . . 4 ⊢ ((({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))}) ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎) → ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)
18	8, 10, 13, 16, 17	syl31anc 1479	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)
19	18, 5	jctil 509	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ ∧ ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin))
20		ctbnfien 37908	. 2 ⊢ (((ℚ ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ ∧ ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)
21	4, 19, 20	sylancr 575	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065   ∖ cdif 3720   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ωcom 7212   ≈ cen 8106  Fincfn 8109  ℝcr 10137  0cc0 10138   < clt 10276   − cmin 10468  -cneg 10469  ℕcn 11222  2c2 11272  ℚcq 11991  ℝ⁺crp 12035  ↑cexp 13067  abscabs 14182  denomcdenom 15649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-numer 15650  df-denom 15651

This theorem is referenced by:  pellexlem4  37922