MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irec 13158
Description: The reciprocal of i. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
irec (1 / i) = -i

Proof of Theorem irec
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10187 . . . 4 i ∈ ℂ
21, 1mulneg2i 10669 . . 3 (i · -i) = -(i · i)
3 ixi 10848 . . . 4 (i · i) = -1
4 ax-1cn 10186 . . . . 5 1 ∈ ℂ
51, 1mulcli 10237 . . . . 5 (i · i) ∈ ℂ
64, 5negcon2i 10556 . . . 4 (1 = -(i · i) ↔ (i · i) = -1)
73, 6mpbir 221 . . 3 1 = -(i · i)
82, 7eqtr4i 2785 . 2 (i · -i) = 1
9 negicn 10474 . . 3 -i ∈ ℂ
10 ine0 10657 . . 3 i ≠ 0
114, 1, 9, 10divmuli 10971 . 2 ((1 / i) = -i ↔ (i · -i) = 1)
128, 11mpbir 221 1 (1 / i) = -i
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  (class class class)co 6813  1c1 10129  ici 10130   · cmul 10133  -cneg 10459   / cdiv 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877
This theorem is referenced by:  imre  14047  crim  14054  cnpart  14179  sinhval  15083  dvsincos  23943  dvatan  24861  atantayl2  24864  sinh-conventional  42993
  Copyright terms: Public domain W3C validator