MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipsubdir 20160
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m = (-g𝑊)
ipsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipsubdir ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipsubdir
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 phllmod 20148 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
32adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lmodgrp 19043 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
6 simpr1 1210 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
7 simpr2 1212 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
8 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 ipsubdir.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
108, 9grpsubcl 17667 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1463 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
12 simpr3 1214 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
15 eqid 2748 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
16 eqid 2748 . . . . . 6 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1713, 14, 8, 15, 16ipdir 20157 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴 𝐵) ∈ 𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
181, 11, 7, 12, 17syl13anc 1465 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
198, 15, 9grpnpcan 17679 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) = 𝐴)
205, 6, 7, 19syl3anc 1463 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) = 𝐴)
2120oveq1d 6816 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
2218, 21eqtr3d 2784 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶))
2313lmodfgrp 19045 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2748 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2613, 14, 8, 25ipcl 20151 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
271, 6, 12, 26syl3anc 1463 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
2813, 14, 8, 25ipcl 20151 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
291, 7, 12, 28syl3anc 1463 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
3013, 14, 8, 25ipcl 20151 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉𝐶𝑉) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
311, 11, 12, 30syl3anc 1463 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝐹)
3325, 16, 32grpsubadd 17675 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1465 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
3522, 34mpbird 247 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 𝐵) , 𝐶))
3635eqcomd 2754 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  Scalarcsca 16117  ·𝑖cip 16119  Grpcgrp 17594  -gcsg 17596  LModclmod 19036  PreHilcphl 20142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-plusg 16127  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-ghm 17830  df-ring 18720  df-lmod 19038  df-lmhm 19195  df-lvec 19276  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-phl 20144
This theorem is referenced by:  ip2subdi  20162  cphsubdir  23179
  Copyright terms: Public domain W3C validator