MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodmul 14778
Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodmul.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodmul.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodmul.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodmul.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iprodmul.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodmul.6 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
iprodmul.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
iprodmul.8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iprodmul (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐵,𝑚,𝑧   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑦   𝑦,𝑀   𝑧,𝑚,𝑀   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iprodmul
Dummy variables 𝑗 𝑎 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodmul.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodmul.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iprodmul.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodmul.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
5 iprodmul.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7 iprodmul.6 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
8 iprodmul.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
9 iprodmul.8 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
108, 9eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
11 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑘))
12 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑘))
1311, 12oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑘 → ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
14 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
15 ovex 6718 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
1716adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
181, 3, 6, 7, 10, 17ntrivcvgmul 14678 . . 3 (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
19 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑎 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑎))
20 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑎 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑎))
2119, 20oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑎 → ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
2221cbvmptv 4783 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
23 seqeq3 12846 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))) → seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))))
2524breq1i 4692 . . . . . 6 (seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤)
2625anbi2i 730 . . . . 5 ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2726exbii 1814 . . . 4 (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2827rexbii 3070 . . 3 (∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2918, 28sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤))
30 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
316, 10mulcld 10098 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
32 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
33 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑘))
3432, 33oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
35 eqid 2651 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))
3634, 35fvmptg 6319 . . . 4 ((𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
3730, 31, 36syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
384, 8oveq12d 6708 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) = (𝐴 · 𝐵))
3937, 38eqtrd 2685 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · 𝐵))
405, 9mulcld 10098 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
411, 2, 3, 4, 5iprodclim2 14774 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
42 seqex 12843 . . . 4 seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ∈ V
4342a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ∈ V)
441, 2, 7, 8, 9iprodclim2 14774 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐵)
451, 2, 6prodf 14663 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
4645ffvelrnda 6399 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
471, 2, 10prodf 14663 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
4847ffvelrnda 6399 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
49 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
5049, 1syl6eleq 2740 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
51 elfzuz 12376 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5251, 1syl6eleqr 2741 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
5352, 6sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5453adantlr 751 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5552, 10sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
5655adantlr 751 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
5737adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5852, 57sylan2 490 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5950, 54, 56, 58prodfmul 14666 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗)))
601, 2, 41, 43, 44, 46, 48, 59climmul 14407 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
611, 2, 29, 39, 40, 60iprodclim 14773 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cli 14259  cprod 14679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator