Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodgam Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodgam 31927
 Description: An infinite product version of Euler's gamma function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
iprodgam.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Assertion
Ref Expression
iprodgam (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem iprodgam
Dummy variables 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodgam.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2 eflgam 24962 . . 3 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
4 oveq1 6812 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
5 oveq1 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 / 𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
65oveq1d 6820 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 / 𝑘) + 1) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
76fveq2d 6348 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
84, 7oveq12d 6823 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
98sumeq2sdv 14626 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
10 fveq2 6344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
119, 10oveq12d 6823 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
12 df-lgam 24936 . . . . . 6 log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)))
13 ovex 6833 . . . . . 6 𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6436 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
151, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
1615fveq2d 6348 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))))
17 nnuz 11908 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
18 1zzd 11592 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
19 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
20 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘𝑗 = 𝑘)
2119, 20oveq12d 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 𝑗) = ((𝑘 + 1) / 𝑘))
2221fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗)) = (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))
2322oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
24 oveq2 6813 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑗) = (𝐴 / 𝑘))
2524oveq1d 6820 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 / 𝑗) + 1) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
2625fveq2d 6348 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
2723, 26oveq12d 6823 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
28 eqid 2752 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))
29 ovex 6833 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6436 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
3130adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
321eldifad 3719 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3332adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 peano2nn 11216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3534adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3635nncnd 11220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
37 nncn 11212 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
3837adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
39 nnne0 11237 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
4039adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
4136, 38, 40divcld 10985 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ∈ ℂ)
4235nnne0d 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
4336, 38, 42, 40divne0d 11001 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ≠ 0)
4441, 43logcld 24508 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) ∈ ℂ)
4533, 44mulcld 10244 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ)
4633, 38, 40divcld 10985 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
47 1cnd 10240 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
4846, 47addcld 10243 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
491adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
50 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
5149, 50dmgmdivn0 24945 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0)
5248, 51logcld 24508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
5345, 52subcld 10576 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5428, 1lgamcvg 24971 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
55 seqex 12989 . . . . . . . 8 seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ V
56 ovex 6833 . . . . . . . 8 ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
5755, 56breldm 5476 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
5854, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
5917, 18, 31, 53, 58isumcl 14683 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
601dmgmn0 24943 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
6132, 60logcld 24508 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
62 efsub 15021 . . . . 5 ((Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
6359, 61, 62syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
6417, 18, 31, 53, 58iprodefisum 31926 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
65 efsub 15021 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
6645, 52, 65syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
6738, 47, 38, 40divdird 11023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)))
6838, 40dividd 10983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑘) = 1)
6968oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)) = (1 + (1 / 𝑘)))
7067, 69eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = (1 + (1 / 𝑘)))
7170fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
7271oveq2d 6821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7372fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
74 1rp 12021 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
7650nnrpd 12055 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
7776rpreccld 12067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
7875, 77rpaddcld 12072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
7978rpcnd 12059 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
8078rpne0d 12062 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ≠ 0)
8179, 80, 33cxpefd 24649 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
8273, 81eqtr4d 2789 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴))
83 eflog 24514 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
8448, 51, 83syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
8546, 47addcomd 10422 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
8684, 85eqtrd 2786 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
8782, 86oveq12d 6823 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
8866, 87eqtrd 2786 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
8988prodeq2dv 14844 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
9064, 89eqtr3d 2788 . . . . 5 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
91 eflog 24514 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
9232, 60, 91syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
9390, 92oveq12d 6823 . . . 4 (𝜑 → ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
9463, 93eqtrd 2786 . . 3 (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
9516, 94eqtrd 2786 . 2 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
963, 95eqtr3d 2788 1 (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924   ∖ cdif 3704   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873  dom cdm 5258  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   − cmin 10450   / cdiv 10868  ℕcn 11204  ℤcz 11561  ℝ+crp 12017  seqcseq 12987   ⇝ cli 14406  Σcsu 14607  ∏cprod 14826  expce 14983  logclog 24492  ↑𝑐ccxp 24493  log Γclgam 24933  Γcgam 24934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-prod 14827  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-tan 14993  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-cmp 21384  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-ulm 24322  df-log 24494  df-cxp 24495  df-lgam 24936  df-gam 24937 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator