MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim3 14725
Description: The sequence of partial finite product of a converging infinite product converge to the infinite product of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodclim3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodclim3.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑦))
iprodclim3.4 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
iprodclim3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodclim3.6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
iprodclim3 (𝜑𝐹 ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑛,𝑦   𝑗,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑗,𝑀   𝑦,𝑀   𝜑,𝑛,𝑦   𝑗,𝑍,𝑘   𝑛,𝑍,𝑦   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim3
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodclim3.4 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 14279 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
31, 2sylib 208 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4 prodfc 14669 . . . 4 𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘𝑍 𝐴
5 iprodclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 iprodclim3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 iprodclim3.3 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑦))
8 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
9 iprodclim3.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
119, 10fmptd 6383 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴):𝑍⟶ℂ)
1211ffvelrnda 6357 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
135, 6, 7, 8, 12iprod 14662 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))))
144, 13syl5eqr 2669 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))))
15 seqex 12798 . . . . . . 7 seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V)
17 iprodclim3.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
18 fzssuz 12379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ𝑀)
1918, 5sseqtr4i 3636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
20 resmpt 5447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2221fveq1i 6190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
23 fvres 6205 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
2422, 23syl5reqr 2670 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
2524prodeq2i 14643 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
26 prodfc 14669 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2725, 26eqtri 2643 . . . . . . . 8 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
28 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
29 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
3029, 5syl6eleq 2710 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
31 elfzuz 12335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
3231, 5syl6eleqr 2711 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚𝑍)
3332, 12sylan2 491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3433adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3528, 30, 34fprodser 14673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3627, 35syl5eqr 2669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3717, 36eqtr2d 2656 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
385, 16, 1, 6, 37climeq 14292 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥𝐹𝑥))
3938iotabidv 5870 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹𝑥))
40 df-fv 5894 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥)
41 df-fv 5894 . . . 4 ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹𝑥)
4239, 40, 413eqtr4g 2680 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
4314, 42eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
443, 43breqtrrd 4679 1 (𝜑𝐹 ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wex 1703  wcel 1989  wne 2793  wrex 2912  Vcvv 3198  wss 3572   class class class wbr 4651  cmpt 4727  dom cdm 5112  cres 5114  cio 5847  cfv 5886  (class class class)co 6647  cc 9931  0cc0 9933   · cmul 9938  cz 11374  cuz 11684  ...cfz 12323  seqcseq 12796  cli 14209  cprod 14629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213  df-prod 14630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator