Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipopos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipopos 17382
 Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipopos.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipopos 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipopos.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2 fvex 6364 . . . . 5 (toInc‘𝐹) ∈ V
31, 2eqeltri 2836 . . . 4 𝐼 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
51ipobas 17377 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6 eqidd 2762 . . 3 (𝐹 ∈ V → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7 ssid 3766 . . . 4 𝑎𝑎
8 eqid 2761 . . . . . 6 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
91, 8ipole 17380 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
1093anidm23 1532 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
117, 10mpbiri 248 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → 𝑎(le‘𝐼)𝑎)
121, 8ipole 17380 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
131, 8ipole 17380 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑎𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
14133com23 1121 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
1512, 14anbi12d 749 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
16 simpl 474 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎𝑏)
17 simpr 479 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑏𝑎)
1816, 17eqssd 3762 . . . 4 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎 = 𝑏)
1915, 18syl6bi 243 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
20 sstr 3753 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐)
2120a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐))
22123adant3r3 1200 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
231, 8ipole 17380 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑐𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
24233adant3r1 1198 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
2522, 24anbi12d 749 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑐)))
261, 8ipole 17380 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑐𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
27263adant3r2 1199 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
2821, 25, 273imtr4d 283 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) → 𝑎(le‘𝐼)𝑐))
294, 5, 6, 11, 19, 28isposd 17177 . 2 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
30 fvprc 6348 . . . 4 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
311, 30syl5eq 2807 . . 3 𝐹 ∈ V → 𝐼 = ∅)
32 0pos 17176 . . 3 ∅ ∈ Poset
3331, 32syl6eqel 2848 . 2 𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
3429, 33pm2.61i 176 1 𝐼 ∈ Poset
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   ⊆ wss 3716  ∅c0 4059   class class class wbr 4805  ‘cfv 6050  lecple 16171  Posetcpo 17162  toInccipo 17373 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ocomp 16186  df-poset 17168  df-ipo 17374 This theorem is referenced by:  isipodrs  17383  mrelatglb  17406  mrelatglb0  17407  mrelatlub  17408  mreclatBAD  17409
 Copyright terms: Public domain W3C validator