Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipole Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipole 17366
 Description: Weak order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipoval.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipole.l = (le‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
ipole ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋 𝑌𝑋𝑌))

Proof of Theorem ipole
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preq12 4407 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → {𝑥, 𝑦} = {𝑋, 𝑌})
21sseq1d 3781 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹))
3 sseq12 3777 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑥𝑦𝑋𝑌))
42, 3anbi12d 616 . . . 4 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦) ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹𝑋𝑌)))
5 eqid 2771 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}
64, 5brabga 5123 . . 3 ((𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹𝑋𝑌)))
763adant1 1124 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹𝑋𝑌)))
8 ipoval.i . . . . . 6 𝐼 = (toInc‘𝐹)
98ipolerval 17364 . . . . 5 (𝐹𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
10 ipole.l . . . . 5 = (le‘𝐼)
119, 10syl6reqr 2824 . . . 4 (𝐹𝑉 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})
1211breqd 4798 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝑋 𝑌𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}𝑌))
13123ad2ant1 1127 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋 𝑌𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}𝑌))
14 prssi 4488 . . . 4 ((𝑋𝐹𝑌𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
15143adant1 1124 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹)
1615biantrurd 522 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋𝑌 ↔ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐹𝑋𝑌)))
177, 13, 163bitr4d 300 1 ((𝐹𝑉𝑋𝐹𝑌𝐹) → (𝑋 𝑌𝑋𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  {cpr 4319   class class class wbr 4787  {copab 4847  ‘cfv 6030  lecple 16156  toInccipo 17359 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ocomp 16171  df-ipo 17360 This theorem is referenced by:  ipolt  17367  ipopos  17368  isipodrs  17369  ipodrsfi  17371  mrelatglb  17392  mrelatglb0  17393  mrelatlub  17394  thlleval  20259
 Copyright terms: Public domain W3C validator