MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipodrsima 17212
Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipodrsima.f (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
ipodrsima.m ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣))
ipodrsima.d (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
ipodrsima.s (𝜑𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
ipodrsima.a (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ipodrsima (𝜑 → (toInc‘(𝐹𝐵)) ∈ Dirset)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝐹,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem ipodrsima
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipodrsima.a . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑉)
2 elex 3243 . . 3 ((𝐹𝐵) ∈ 𝑉 → (𝐹𝐵) ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ V)
4 ipodrsima.d . . . . 5 (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
5 isipodrs 17208 . . . . 5 ((toInc‘𝐵) ∈ Dirset ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐))
64, 5sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐))
76simp2d 1094 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
8 ipodrsima.f . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
9 ipodrsima.s . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
10 fnimaeq0 6051 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
118, 9, 10syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
1211necon3bid 2867 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
137, 12mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≠ ∅)
146simp3d 1095 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐)
15 simplll 813 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → 𝜑)
16 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → 𝑎𝑐)
179ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
18 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐵)
1917, 18sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
2019elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐴)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → 𝑐𝐴)
22 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 ∈ V
23 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
24 sseq12 3661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (𝑢𝑣𝑎𝑐))
25 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑐 → (𝑣𝐴𝑐𝐴))
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (𝑣𝐴𝑐𝐴))
2724, 26anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → ((𝑢𝑣𝑣𝐴) ↔ (𝑎𝑐𝑐𝐴)))
2827anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎𝑐𝑐𝐴))))
29 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑎 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑎))
30 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑐 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑐))
31 sseq12 3661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑢) = (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑣) = (𝐹𝑐)) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐)))
3229, 30, 31syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐)))
3328, 32imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐))))
34 ipodrsima.m . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣))
3522, 23, 33, 34vtocl2 3292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐))
3615, 16, 21, 35syl12anc 1364 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐))
3736ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎𝑐 → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐)))
38 simplll 813 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝜑)
39 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
4020adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐𝐴)
41 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
42 sseq12 3661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑢𝑣𝑏𝑐))
4325adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑣𝐴𝑐𝐴))
4442, 43anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → ((𝑢𝑣𝑣𝐴) ↔ (𝑏𝑐𝑐𝐴)))
4544anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏𝑐𝑐𝐴))))
46 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑏 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑏))
47 sseq12 3661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑢) = (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑣) = (𝐹𝑐)) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)))
4846, 30, 47syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)))
4945, 48imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))))
5041, 23, 49, 34vtocl2 3292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))
5138, 39, 40, 50syl12anc 1364 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))
5251ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏𝑐 → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)))
5337, 52anim12d 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎𝑐𝑏𝑐) → ((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))))
54 unss 3820 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐)
55 unss 3820 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
5653, 54, 553imtr3g 284 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5756anassrs 681 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5857reximdva 3046 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (∃𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ∃𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5958ralimdva 2991 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
6059ralimdva 2991 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
6114, 60mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
62 uneq1 3793 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥𝑦) = ((𝐹𝑎) ∪ 𝑦))
6362sseq1d 3665 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
6463rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
6564ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
6665ralima 6538 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
678, 9, 66syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
68 uneq2 3794 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) = ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)))
6968sseq1d 3665 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
7069rexbidv 3081 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
7170ralima 6538 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
728, 9, 71syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
73 sseq2 3660 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7473rexima 6537 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
758, 9, 74syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7675ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑏𝐵𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7772, 76bitrd 268 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7877ralbidv 3015 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7967, 78bitrd 268 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8061, 79mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
81 isipodrs 17208 . 2 ((toInc‘(𝐹𝐵)) ∈ Dirset ↔ ((𝐹𝐵) ∈ V ∧ (𝐹𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
823, 13, 80, 81syl3anbrc 1265 1 (𝜑 → (toInc‘(𝐹𝐵)) ∈ Dirset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cun 3605  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  cima 5146   Fn wfn 5921  cfv 5926  Dirsetcdrs 16974  toInccipo 17198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ocomp 16010  df-preset 16975  df-drs 16976  df-poset 16993  df-ipo 17199
This theorem is referenced by:  isacs4lem  17215  isnacs3  37590
  Copyright terms: Public domain W3C validator