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Theorem ipidsq 27453
Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipid.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipid.6 𝑁 = (normCV𝑈)
ipid.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipidsq ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))

Proof of Theorem ipidsq
StepHypRef Expression
1 ipid.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2621 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2621 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 ipid.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
5 ipid.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 27450 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = (((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
763anidm23 1382 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = (((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
81, 2, 3nv2 27375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))
98fveq2d 6162 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)) = (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
10 2re 11050 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
11 0le2 11071 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
1210, 11pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
131, 3, 4nvsge0 27407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (2 · (𝑁𝐴)))
1412, 13mp3an2 1409 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (2 · (𝑁𝐴)))
159, 14eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)) = (2 · (𝑁𝐴)))
1615oveq1d 6630 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) = ((2 · (𝑁𝐴))↑2))
171, 4nvcl 27404 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1817recnd 10028 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
19 2cn 11051 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
20 2nn0 11269 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
21 mulexp 12855 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)))
2219, 20, 21mp3an13 1412 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐴) ∈ ℂ → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)))
2318, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)))
24 sq2 12916 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
2524oveq1i 6625 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2))
2623, 25syl6eq 2671 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
2716, 26eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
28 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
291, 2, 3, 28nvrinv 27394 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (0vec𝑈))
3029fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (𝑁‘(0vec𝑈)))
3128, 4nvz0 27411 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
3330, 32eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = 0)
3433sq0id 12913 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) = 0)
3527, 34oveq12d 6633 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) − 0))
36 4cn 11058 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
3718sqcld 12962 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ)
38 mulcl 9980 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (4 · ((𝑁𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (4 · ((𝑁𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
4039subid1d 10341 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) − 0) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
4135, 40eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
42 1re 9999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
43 neg1rr 11085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℝ
44 absreim 13983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (abs‘(1 + (i · -1))) = (√‘((1↑2) + (-1↑2))))
4542, 43, 44mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘(1 + (i · -1))) = (√‘((1↑2) + (-1↑2)))
46 ax-icn 9955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i ∈ ℂ
47 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
4846, 47mulneg2i 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i · -1) = -(i · 1)
4946mulid1i 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · 1) = i
5049negeqi 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(i · 1) = -i
5148, 50eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · -1) = -i
5251oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + (i · -1)) = (1 + -i)
5352fveq2i 6161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘(1 + (i · -1))) = (abs‘(1 + -i))
54 sqneg 12879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℂ → (-1↑2) = (1↑2))
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = (1↑2)
5655oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1↑2) + (-1↑2)) = ((1↑2) + (1↑2))
5756fveq2i 6161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (√‘((1↑2) + (-1↑2))) = (√‘((1↑2) + (1↑2)))
5845, 53, 573eqtr3i 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(1 + -i)) = (√‘((1↑2) + (1↑2)))
59 absreim 13983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (abs‘(1 + (i · 1))) = (√‘((1↑2) + (1↑2))))
6042, 42, 59mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(1 + (i · 1))) = (√‘((1↑2) + (1↑2)))
6149oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + (i · 1)) = (1 + i)
6261fveq2i 6161 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(1 + (i · 1))) = (abs‘(1 + i))
6358, 60, 623eqtr2i 2649 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘(1 + -i)) = (abs‘(1 + i))
6463oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(1 + -i)) · (𝑁𝐴)) = ((abs‘(1 + i)) · (𝑁𝐴))
65 negicn 10242 . . . . . . . . . . . . . 14 -i ∈ ℂ
6647, 65addcli 10004 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + -i) ∈ ℂ
671, 3, 4nvs 27406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 + -i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + -i)) · (𝑁𝐴)))
6866, 67mp3an2 1409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + -i)) · (𝑁𝐴)))
6947, 46addcli 10004 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + i) ∈ ℂ
701, 3, 4nvs 27406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 + i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + i)) · (𝑁𝐴)))
7169, 70mp3an2 1409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + i)) · (𝑁𝐴)))
7264, 68, 713eqtr4a 2681 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
731, 2, 3nvdir 27374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7447, 73mp3anr1 1418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7565, 74mpanr1 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
761, 3nvsid 27370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = 𝐴)
7776oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7875, 77eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7978fveq2d 6162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
801, 2, 3nvdir 27374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8147, 80mp3anr1 1418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8246, 81mpanr1 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8376oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8482, 83eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8584fveq2d 6162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
8672, 79, 853eqtr3d 2663 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
8786oveq1d 6630 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
8887oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
891, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27449 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
9046, 89mpan2 706 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
91903anidm23 1382 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
9291subidd 10340 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = 0)
9388, 92eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = 0)
9493oveq2d 6631 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))) = (i · 0))
95 it0e0 11214 . . . . . 6 (i · 0) = 0
9694, 95syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))) = 0)
9741, 96oveq12d 6633 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) = ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) + 0))
9839addid1d 10196 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) + 0) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
9997, 98eqtr2d 2656 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (4 · ((𝑁𝐴)↑2)) = ((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
10099oveq1d 6630 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = (((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
101 4ne0 11077 . . . 4 4 ≠ 0
102 divcan3 10671 . . . 4 ((((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = ((𝑁𝐴)↑2))
10336, 101, 102mp3an23 1413 . . 3 (((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = ((𝑁𝐴)↑2))
10437, 103syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = ((𝑁𝐴)↑2))
1057, 100, 1043eqtr2d 2661 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901  cle 10035  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  2c2 11030  4c4 11032  0cn0 11252  cexp 12816  csqrt 13923  abscabs 13924  NrmCVeccnv 27327   +𝑣 cpv 27328  BaseSetcba 27329   ·𝑠OLD cns 27330  0veccn0v 27331  normCVcnmcv 27333  ·𝑖OLDcdip 27443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-grpo 27235  df-gid 27236  df-ginv 27237  df-ablo 27287  df-vc 27302  df-nv 27335  df-va 27338  df-ba 27339  df-sm 27340  df-0v 27341  df-nmcv 27343  df-dip 27444
This theorem is referenced by:  ipnm  27454  ipz  27462  pythi  27593  siilem1  27594  hlipgt0  27658  htthlem  27662
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