MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipeq0 20199
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z 𝑍 = (0g𝐹)
ip0l.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ipeq0 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem ipeq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
4 ip0l.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
5 eqid 2770 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
6 ip0l.z . . . . . 6 𝑍 = (0g𝐹)
71, 2, 3, 4, 5, 6isphl 20189 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ *-Ring ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥))))
87simp3bi 1140 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥𝑉 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)))
9 simp2 1130 . . . . 5 (((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ))
109ralimi 3100 . . . 4 (∀𝑥𝑉 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ∀𝑥𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ))
118, 10syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ))
12 oveq12 6801 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴) → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
1312anidms 548 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
1413eqeq1d 2772 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
15 eqeq1 2774 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0𝐴 = 0 ))
1614, 15imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 )))
1716rspccva 3457 . . 3 ((∀𝑥𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))
1811, 17sylan 561 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))
192, 3, 1, 6, 4ip0l 20197 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
20 oveq1 6799 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
2120eqeq1d 2772 . . 3 (𝐴 = 0 → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ ( 0 , 𝐴) = 𝑍))
2219, 21syl5ibrcom 237 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
2318, 22impbid 202 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  cmpt 4861  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  *𝑟cstv 16150  Scalarcsca 16151  ·𝑖cip 16153  0gc0g 16307  *-Ringcsr 19053   LMHom clmhm 19231  LVecclvec 19314  ringLModcrglmod 19383  PreHilcphl 20185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-ghm 17865  df-lmod 19074  df-lmhm 19234  df-lvec 19315  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-phl 20187
This theorem is referenced by:  ip2eq  20214  ocvin  20234  lsmcss  20252  obsne0  20285  cphipeq0  23222  ipcau2  23251  tchcph  23254
  Copyright terms: Public domain W3C validator