MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipassr 20214
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare ipass 20213). (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s · = ( ·𝑠𝑊)
ipass.p × = (.r𝐹)
ipassr.i = (*𝑟𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipassr ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( 𝐶)))

Proof of Theorem ipassr
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 simpr3 1235 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐶𝐾)
3 simpr2 1233 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐵𝑉)
4 simpr1 1231 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐴𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 ipdir.f . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
9 ipass.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
10 ipass.p . . . . . 6 × = (.r𝐹)
115, 6, 7, 8, 9, 10ipass 20213 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐶𝐾𝐵𝑉𝐴𝑉)) → ((𝐶 · 𝐵) , 𝐴) = (𝐶 × (𝐵 , 𝐴)))
121, 2, 3, 4, 11syl13anc 1476 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ((𝐶 · 𝐵) , 𝐴) = (𝐶 × (𝐵 , 𝐴)))
1312fveq2d 6335 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘((𝐶 · 𝐵) , 𝐴)) = ( ‘(𝐶 × (𝐵 , 𝐴))))
14 phllmod 20198 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1514adantr 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
167, 5, 9, 8lmodvscl 19096 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝐾𝐵𝑉) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑉)
1715, 2, 3, 16syl3anc 1474 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑉)
18 ipassr.i . . . . 5 = (*𝑟𝐹)
195, 6, 7, 18ipcj 20202 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ( ‘((𝐶 · 𝐵) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)))
201, 17, 4, 19syl3anc 1474 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘((𝐶 · 𝐵) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)))
215phlsrng 20199 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
2221adantr 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐹 ∈ *-Ring)
235, 6, 7, 8ipcl 20201 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
241, 3, 4, 23syl3anc 1474 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2518, 8, 10srngmul 19074 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ( ‘(𝐶 × (𝐵 , 𝐴))) = (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)))
2622, 2, 24, 25syl3anc 1474 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘(𝐶 × (𝐵 , 𝐴))) = (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)))
2713, 20, 263eqtr3d 2811 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)) = (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)))
285, 6, 7, 18ipcj 20202 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → ( ‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
291, 3, 4, 28syl3anc 1474 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
3029oveq1d 6806 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( 𝐶)))
3127, 30eqtrd 2803 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  cfv 6030  (class class class)co 6791  Basecbs 16070  .rcmulr 16156  *𝑟cstv 16157  Scalarcsca 16158   ·𝑠 cvsca 16159  ·𝑖cip 16160  *-Ringcsr 19060  LModclmod 19079  PreHilcphl 20192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-tpos 7502  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-ip 16173  df-0g 16316  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-mhm 17549  df-ghm 17872  df-mgp 18704  df-ur 18716  df-ring 18763  df-oppr 18837  df-rnghom 18931  df-staf 19061  df-srng 19062  df-lmod 19081  df-lmhm 19241  df-lvec 19322  df-sra 19393  df-rgmod 19394  df-phl 20194
This theorem is referenced by:  ipassr2  20215  cphassr  23237  tchcphlem2  23260
  Copyright terms: Public domain W3C validator