MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem7 28031
Description: Lemma for ipassi 28036. Show that ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) is continuous on . (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a 𝐴𝑋
ipasslem7.b 𝐵𝑋
ipasslem7.f 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
ipasslem7.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
ipasslem7.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
ipasslem7 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝐾   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐽(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem7
StepHypRef Expression
1 ipasslem7.f . 2 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
2 ipasslem7.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 ipasslem7.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43tgioo2 22826 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
52, 4eqtri 2793 . . . 4 𝐽 = (𝐾t ℝ)
63cnfldtopon 22806 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
8 ax-resscn 10195 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
98a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
107cnmptid 21685 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
11 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
1211phnvi 28011 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
14 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
1513, 14imsxmet 27887 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋))
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋)
17 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
1817mopntopon 22464 . . . . . . . . 9 ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘𝑋))
1916, 18mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊤ → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘𝑋))
20 ipasslem7.a . . . . . . . . 9 𝐴𝑋
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐴𝑋)
227, 19, 21cnmptc 21686 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
23 ip1i.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
2414, 17, 23, 3smcn 27893 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
2512, 24mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
267, 10, 22, 25cnmpt12f 21690 . . . . . 6 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤𝑆𝐴)) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
27 ipasslem7.b . . . . . . . 8 𝐵𝑋
2827a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐵𝑋)
297, 19, 28cnmptc 21686 . . . . . 6 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
30 ip1i.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
3130, 14, 17, 3dipcn 27915 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn 𝐾))
3212, 31mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → 𝑃 ∈ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn 𝐾))
337, 26, 29, 32cnmpt12f 21690 . . . . 5 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
3413, 30dipcl 27907 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
3512, 20, 27, 34mp3an 1572 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
3635a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
377, 7, 36cnmptc 21686 . . . . . 6 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴𝑃𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
383mulcn 22890 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
3938a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
407, 10, 37, 39cnmpt12f 21690 . . . . 5 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
413subcn 22889 . . . . . 6 − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
4241a1i 11 . . . . 5 (⊤ → − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
437, 33, 40, 42cnmpt12f 21690 . . . 4 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
445, 7, 9, 43cnmpt1res 21700 . . 3 (⊤ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4544trud 1641 . 2 (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
461, 45eqeltri 2846 1 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wss 3723  cmpt 4863  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137   · cmul 10143  cmin 10468  (,)cioo 12380  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  fldccnfld 19961  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249   ×t ctx 21584  NrmCVeccnv 27779   +𝑣 cpv 27780  BaseSetcba 27781   ·𝑠OLD cns 27782  IndMetcims 27786  ·𝑖OLDcdip 27895  CPreHilOLDccphlo 28007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ph 28008
This theorem is referenced by:  ipasslem8  28032
  Copyright terms: Public domain W3C validator