MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem5 27818
Description: Lemma for ipassi 27824. Show the inner product associative law for rational numbers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem5 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem5
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11828 . . 3 (𝐶 ∈ ℚ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘))
2 zcn 11420 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
3 nnrecre 11095 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
43recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
5 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
65phnvi 27799 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
7 ipasslem1.b . . . . . . . . . 10 𝐵𝑋
8 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9 ip1i.7 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
108, 9dipcl 27695 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
116, 7, 10mp3an13 1455 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
12 mulass 10062 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
132, 4, 11, 12syl3an 1408 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
142adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
15 nncn 11066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
17 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
1914, 16, 18divrecd 10842 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
20193adant3 1101 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
2120oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)))
2220oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴))
23 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋𝐴𝑋)
24 ip1i.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
258, 24nvsass 27611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
266, 25mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
272, 4, 23, 26syl3an 1408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
2822, 27eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
2928oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
308, 24nvscl 27609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
316, 30mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
324, 31sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
33 ip1i.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
348, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem3 27816 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3532, 34sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
36353impb 1279 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
378, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem4 27817 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
38373adant1 1099 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
3938oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4029, 36, 393eqtrd 2689 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4113, 21, 403eqtr4rd 2696 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
42 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴))
4342oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
44 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
4543, 44eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4641, 45syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
47463expia 1286 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑋 → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
4847com23 86 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
4948rexlimivv 3065 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
501, 49sylbi 207 . 2 (𝐶 ∈ ℚ → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
5150imp 444 1 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   / cdiv 10722  cn 11058  cz 11415  cq 11826  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  ·𝑖OLDcdip 27683  CPreHilOLDccphlo 27795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583  df-dip 27684  df-ph 27796
This theorem is referenced by:  ipasslem8  27820
  Copyright terms: Public domain W3C validator