MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem4 28029
Description: Lemma for ipassi 28036. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4
StepHypRef Expression
1 nnrecre 11263 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
21recnd 10274 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 28011 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 ip1i.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
75, 6nvscl 27821 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
84, 7mp3an1 1559 . . . 4 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 8sylan 569 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10 ipasslem1.b . . . 4 𝐵𝑋
11 ip1i.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
125, 11dipcl 27907 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
134, 10, 12mp3an13 1563 . . 3 (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
149, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
155, 11dipcl 27907 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
164, 10, 15mp3an13 1563 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17 mulcl 10226 . . 3 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
182, 16, 17syl2an 583 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19 nncn 11234 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2019adantr 466 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 nnne0 11259 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2221adantr 466 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
2319, 21recidd 11002 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
2423oveq1d 6811 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
2516mulid2d 10264 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2624, 25sylan9eq 2825 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2723oveq1d 6811 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
285, 6nvsid 27822 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
294, 28mpan 670 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
3027, 29sylan9eq 2825 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
312adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
335, 6nvsass 27823 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
344, 33mpan 670 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3520, 31, 32, 34syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3630, 35eqtr3d 2807 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3736oveq1d 6811 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38 nnnn0 11506 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3938adantr 466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40 ip1i.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
415, 40, 6, 11, 3, 10ipasslem1 28026 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4239, 9, 41syl2anc 573 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4326, 37, 423eqtrd 2809 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4416adantl 467 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
4520, 31, 44mulassd 10269 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4643, 45eqtr3d 2807 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4714, 18, 20, 22, 46mulcanad 10868 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147   / cdiv 10890  cn 11226  0cn0 11499  NrmCVeccnv 27779   +𝑣 cpv 27780  BaseSetcba 27781   ·𝑠OLD cns 27782  ·𝑖OLDcdip 27895  CPreHilOLDccphlo 28007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-nmcv 27795  df-dip 27896  df-ph 28008
This theorem is referenced by:  ipasslem5  28030
  Copyright terms: Public domain W3C validator