MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem2 28018
Description: Lemma for ipassi 28027. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 11515 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
21negcld 10592 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℂ)
3 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 28002 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ipasslem1.b . . . . 5 𝐵𝑋
6 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
86, 7dipcl 27898 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
94, 5, 8mp3an13 1564 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
10 mulcl 10233 . . . 4 ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
112, 9, 10syl2an 495 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
12 ip1i.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
136, 12nvscl 27812 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
144, 13mp3an1 1560 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
152, 14sylan 489 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
166, 7dipcl 27898 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
174, 5, 16mp3an13 1564 . . . 4 ((-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
1815, 17syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
19 ax-1cn 10207 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
20 mulneg2 10680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
2119, 20mpan2 709 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
22 mulid1 10250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2322negeqd 10488 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 · 1) = -𝑁)
2421, 23eqtr2d 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 = (𝑁 · -1))
2524adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → -𝑁 = (𝑁 · -1))
2625oveq1d 6830 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 · -1)𝑆𝐴))
27 neg1cn 11337 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
286, 12nvsass 27814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
294, 28mpan 708 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3027, 29mp3an2 1561 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3126, 30eqtrd 2795 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
321, 31sylan 489 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3332oveq1d 6830 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
346, 12nvscl 27812 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
354, 27, 34mp3an12 1563 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
376, 36, 12, 7, 3, 5ipasslem1 28017 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3835, 37sylan2 492 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3933, 38eqtrd 2795 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4039oveq2d 6831 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
416, 7dipcl 27898 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
424, 5, 41mp3an13 1564 . . . . . . 7 ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
4335, 42syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
44 mulcl 10233 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
451, 43, 44syl2an 495 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
4611, 45negsubd 10611 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
47 mulneg1 10679 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
481, 43, 47syl2an 495 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4948oveq2d 6831 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
502adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → -𝑁 ∈ ℂ)
519adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5243adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5350, 51, 52adddid 10277 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
546, 36, 12, 7, 3ipdiri 28016 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
555, 54mp3an3 1562 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
5635, 55mpdan 705 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
57 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
586, 36, 12, 57nvrinv 27837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
594, 58mpan 708 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
6059oveq1d 6830 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec𝑈)𝑃𝐵))
616, 57, 7dip0l 27904 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0)
624, 5, 61mp2an 710 . . . . . . . . . 10 ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0
6360, 62syl6eq 2811 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0)
6456, 63eqtr3d 2797 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
6564oveq2d 6831 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (-𝑁 · 0))
662mul01d 10448 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-𝑁 · 0) = 0)
6765, 66sylan9eqr 2817 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
6853, 67eqtr3d 2797 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
6949, 68eqtr3d 2797 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
7040, 46, 693eqtr2d 2801 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
7111, 18, 70subeq0d 10613 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
7271eqcomd 2767 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479  -cneg 10480  0cn0 11505  NrmCVeccnv 27770   +𝑣 cpv 27771  BaseSetcba 27772   ·𝑠OLD cns 27773  0veccn0v 27774  ·𝑖OLDcdip 27886  CPreHilOLDccphlo 27998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-sum 14637  df-grpo 27678  df-gid 27679  df-ginv 27680  df-ablo 27730  df-vc 27745  df-nv 27778  df-va 27781  df-ba 27782  df-sm 27783  df-0v 27784  df-nmcv 27786  df-dip 27887  df-ph 27999
This theorem is referenced by:  ipasslem3  28019
  Copyright terms: Public domain W3C validator