MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2i 28023
Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2i.8 𝐴𝑋
ip2i.9 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ip2i ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ip2i
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 28011 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ip2i.8 . . . . . 6 𝐴𝑋
4 ip1i.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 ip1i.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
64, 5nvgcl 27815 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
72, 3, 3, 6mp3an 1572 . . . . 5 (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋
8 ip2i.9 . . . . 5 𝐵𝑋
9 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
104, 9dipcl 27907 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
112, 7, 8, 10mp3an 1572 . . . 4 ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ
1211addid1i 10425 . . 3 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
13 ip1i.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
14 eqid 2771 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
154, 5, 13, 14nvrinv 27846 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
162, 3, 15mp2an 672 . . . . . 6 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈)
1716oveq1i 6803 . . . . 5 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec𝑈)𝑃𝐵)
184, 14, 9dip0l 27913 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0)
192, 8, 18mp2an 672 . . . . 5 ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0
2017, 19eqtri 2793 . . . 4 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0
2120oveq2i 6804 . . 3 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0)
22 df-2 11281 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
2322oveq1i 6803 . . . . 5 (2𝑆𝐴) = ((1 + 1)𝑆𝐴)
24 ax-1cn 10196 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
2524, 24, 33pm3.2i 1423 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
264, 5, 13nvdir 27826 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
272, 25, 26mp2an 672 . . . . . 6 ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴))
284, 13nvsid 27822 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
292, 3, 28mp2an 672 . . . . . . 7 (1𝑆𝐴) = 𝐴
3029, 29oveq12i 6805 . . . . . 6 ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝐴)
3127, 30eqtri 2793 . . . . 5 ((1 + 1)𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
3223, 31eqtri 2793 . . . 4 (2𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
3332oveq1i 6803 . . 3 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
3412, 21, 333eqtr4ri 2804 . 2 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
354, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8ip1i 28022 . 2 (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
3634, 35eqtri 2793 1 ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  -cneg 10469  2c2 11272  NrmCVeccnv 27779   +𝑣 cpv 27780  BaseSetcba 27781   ·𝑠OLD cns 27782  0veccn0v 27783  ·𝑖OLDcdip 27895  CPreHilOLDccphlo 28007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-nmcv 27795  df-dip 27896  df-ph 28008
This theorem is referenced by:  ipdirilem  28024
  Copyright terms: Public domain W3C validator