Theorem ip2i 28023

Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2i.8	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip2i.9	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ip2i	⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ip2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 28011	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip2i.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
4		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		ip1i.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	4, 5	nvgcl 27815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
7	2, 3, 3, 6	mp3an 1572	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋
8		ip2i.9	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
10	4, 9	dipcl 27907	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
11	2, 7, 8, 10	mp3an 1572	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ
12	11	addid1i 10425	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
13		ip1i.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
14		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14	nvrinv 27846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
16	2, 3, 15	mp2an 672	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈)
17	16	oveq1i 6803	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵)
18	4, 14, 9	dip0l 27913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
19	2, 8, 18	mp2an 672	. . . . 5 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
20	17, 19	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0
21	20	oveq2i 6804	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0)
22		df-2 11281	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
23	22	oveq1i 6803	. . . . 5 ⊢ (2𝑆𝐴) = ((1 + 1)𝑆𝐴)
24		ax-1cn 10196	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24, 24, 3	3pm3.2i 1423	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
26	4, 5, 13	nvdir 27826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
27	2, 25, 26	mp2an 672	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴))
28	4, 13	nvsid 27822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	2, 3, 28	mp2an 672	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
30	29, 29	oveq12i 6805	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝐴)
31	27, 30	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
32	23, 31	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ (2𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
33	32	oveq1i 6803	. . 3 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
34	12, 21, 33	3eqtr4ri 2804	. 2 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
35	4, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8	ip1i 28022	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
36	34, 35	eqtri 2793	1 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Syntax hints:   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  -cneg 10469  2c2 11272  NrmCVeccnv 27779   +_𝑣 cpv 27780  BaseSetcba 27781   ·_𝑠OLD cns 27782  0_veccn0v 27783  ·_𝑖OLDcdip 27895  CPreHil_OLDccphlo 28007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-nmcv 27795  df-dip 27896  df-ph 28008

This theorem is referenced by:  ipdirilem  28024