MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2eq 20220
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eq.h , = (·𝑖𝑊)
ip2eq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ip2eq ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥, ,   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ip2eq
StepHypRef Expression
1 oveq2 6822 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
21ralrimivw 3105 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
3 phllmod 20197 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4 ip2eq.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2760 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
64, 5lmodvsubcl 19130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
73, 6syl3an1 1167 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
8 oveq1 6821 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴))
9 oveq1 6821 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐵) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵))
108, 9eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → ((𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
1110rspcv 3445 . . . 4 ((𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
127, 11syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
13 simp1 1131 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
14 simp2 1132 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
15 simp3 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
16 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17 ip2eq.h . . . . . . . 8 , = (·𝑖𝑊)
18 eqid 2760 . . . . . . . 8 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
1916, 17, 4, 5, 18ipsubdi 20210 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉𝐵𝑉)) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
2013, 7, 14, 15, 19syl13anc 1479 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
2120eqeq1d 2762 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2416, 17, 4, 22, 23ipeq0 20205 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2513, 7, 24syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2621, 25bitr3d 270 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2733ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2816lmodfgrp 19094 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3116, 17, 4, 30ipcl 20200 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3213, 7, 14, 31syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3316, 17, 4, 30ipcl 20200 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3413, 7, 15, 33syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3530, 22, 18grpsubeq0 17722 . . . . 5 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
3629, 32, 34, 35syl3anc 1477 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
37 lmodgrp 19092 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
383, 37syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ Grp)
394, 23, 5grpsubeq0 17722 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4038, 39syl3an1 1167 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4126, 36, 403bitr3d 298 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4212, 41sylibd 229 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
432, 42impbid2 216 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166  ·𝑖cip 16168  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  -gcsg 17645  LModclmod 19085  PreHilcphl 20191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-ghm 17879  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-rnghom 18937  df-staf 19067  df-srng 19068  df-lmod 19087  df-lmhm 19244  df-lvec 19325  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-phl 20193
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator