MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip0i 28014
Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where 𝐽 is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip1i.a 𝐴𝑋
ip1i.b 𝐵𝑋
ip1i.c 𝐶𝑋
ip1i.6 𝑁 = (normCV𝑈)
ip0i.j 𝐽 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
ip0i ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))

Proof of Theorem ip0i
StepHypRef Expression
1 2cn 11292 . . . 4 2 ∈ ℂ
2 ip1i.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 ip1i.6 . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
4 ip1i.9 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ CPreHilOLD
54phnvi 28005 . . . . . . 7 𝑈 ∈ NrmCVec
6 ip1i.a . . . . . . . 8 𝐴𝑋
7 ip0i.j . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ ℂ
8 ip1i.c . . . . . . . . 9 𝐶𝑋
9 ip1i.4 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
102, 9nvscl 27815 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
115, 7, 8, 10mp3an 1571 . . . . . . . 8 (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
12 ip1i.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
132, 12nvgcl 27809 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
145, 6, 11, 13mp3an 1571 . . . . . . 7 (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
152, 3, 5, 14nvcli 27851 . . . . . 6 (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
1615recni 10253 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
1716sqcli 13150 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
187negcli 10550 . . . . . . . . 9 -𝐽 ∈ ℂ
192, 9nvscl 27815 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
205, 18, 8, 19mp3an 1571 . . . . . . . 8 (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
212, 12nvgcl 27809 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
225, 6, 20, 21mp3an 1571 . . . . . . 7 (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
232, 3, 5, 22nvcli 27851 . . . . . 6 (𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
2423recni 10253 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
2524sqcli 13150 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
261, 17, 25subdii 10680 . . 3 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
271, 17mulcli 10246 . . . 4 (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
281, 25mulcli 10246 . . . 4 (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
29 ip1i.b . . . . . . . 8 𝐵𝑋
302, 3, 5, 29nvcli 27851 . . . . . . 7 (𝑁𝐵) ∈ ℝ
3130recni 10253 . . . . . 6 (𝑁𝐵) ∈ ℂ
3231sqcli 13150 . . . . 5 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
331, 32mulcli 10246 . . . 4 (2 · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ
34 pnpcan2 10522 . . . 4 (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ) → (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))))
3527, 28, 33, 34mp3an 1571 . . 3 (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
3626, 35eqtr4i 2795 . 2 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))))
37 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 (1st𝑈) = (1st𝑈)
3837nvvc 27804 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3912vafval 27792 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (1st ‘(1st𝑈))
4039vcablo 27758 . . . . . . . . 9 ((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐺 ∈ AbelOp)
415, 38, 40mp2b 10 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ AbelOp
426, 29, 113pm3.2i 1422 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
432, 12bafval 27793 . . . . . . . . 9 𝑋 = ran 𝐺
4443ablo32 27737 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
4541, 42, 44mp2an 664 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
4645fveq2i 6335 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
4746oveq1i 6802 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
48 neg1cn 11325 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
492, 9nvscl 27815 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
505, 48, 29, 49mp3an 1571 . . . . . . . . 9 (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
516, 50, 113pm3.2i 1422 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
5243ablo32 27737 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
5341, 51, 52mp2an 664 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵))
5453fveq2i 6335 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
5554oveq1i 6802 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)
5647, 55oveq12i 6804 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
572, 12, 9, 3phpar 28013 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
584, 14, 29, 57mp3an 1571 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
591, 17, 32adddii 10251 . . . 4 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
6056, 58, 593eqtri 2796 . . 3 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
616, 29, 203pm3.2i 1422 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
6243ablo32 27737 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
6341, 61, 62mp2an 664 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
6463fveq2i 6335 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
6564oveq1i 6802 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
666, 50, 203pm3.2i 1422 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
6743ablo32 27737 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
6841, 66, 67mp2an 664 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵))
6968fveq2i 6335 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
7069oveq1i 6802 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)
7165, 70oveq12i 6804 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
722, 12, 9, 3phpar 28013 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
734, 22, 29, 72mp3an 1571 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
741, 25, 32adddii 10251 . . . 4 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
7571, 73, 743eqtri 2796 . . 3 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
7660, 75oveq12i 6804 . 2 ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))))
772, 12nvgcl 27809 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
785, 6, 29, 77mp3an 1571 . . . . . . 7 (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
792, 12nvgcl 27809 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
805, 78, 11, 79mp3an 1571 . . . . . 6 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
812, 3, 5, 80nvcli 27851 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
8281recni 10253 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
8382sqcli 13150 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
842, 12nvgcl 27809 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
855, 6, 50, 84mp3an 1571 . . . . . . 7 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
862, 12nvgcl 27809 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
875, 85, 11, 86mp3an 1571 . . . . . 6 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
882, 3, 5, 87nvcli 27851 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
8988recni 10253 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
9089sqcli 13150 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
912, 12nvgcl 27809 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
925, 78, 20, 91mp3an 1571 . . . . . 6 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
932, 3, 5, 92nvcli 27851 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
9493recni 10253 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
9594sqcli 13150 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
962, 12nvgcl 27809 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
975, 85, 20, 96mp3an 1571 . . . . . 6 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
982, 3, 5, 97nvcli 27851 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
9998recni 10253 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
10099sqcli 13150 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
10183, 90, 95, 100addsub4i 10578 . 2 ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
10236, 76, 1013eqtr2ri 2799 1 ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  1st c1st 7312  cc 10135  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  cmin 10467  -cneg 10468  2c2 11271  cexp 13066  AbelOpcablo 27732  CVecOLDcvc 27747  NrmCVeccnv 27773   +𝑣 cpv 27774  BaseSetcba 27775   ·𝑠OLD cns 27776  normCVcnmcv 27779  ·𝑖OLDcdip 27889  CPreHilOLDccphlo 28001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-seq 13008  df-exp 13067  df-grpo 27681  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-nmcv 27789  df-ph 28002
This theorem is referenced by:  ip1ilem  28015
  Copyright terms: Public domain W3C validator