MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooss2 12415
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooss2 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iooss2
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12383 . 2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 xrltletr 12192 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝑤 < 𝐶))
31, 1, 2ixxss2 12398 1 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2144  wss 3721   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  (,)cioo 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-ioo 12383
This theorem is referenced by:  tgqioo  22822  ioorcl2  23559  itgsplitioo  23823  ditgcl  23841  ditgswap  23842  ditgsplitlem  23843  dvferm2lem  23968  dvferm  23970  dvlip  23975  dvgt0lem1  23984  dvivthlem1  23990  lhop1lem  23995  lhop1  23996  dvcvx  24002  dvfsumle  24003  dvfsumge  24004  dvfsumabs  24005  ftc1lem1  24017  ftc1lem2  24018  ftc1a  24019  ftc1lem4  24021  ftc2  24026  ftc2ditglem  24027  itgsubstlem  24030  ftc1anc  33818  ftc2nc  33819  limcresioolb  40387  fourierdlem46  40880  fourierdlem48  40882  fourierdlem49  40883  fourierdlem75  40909  fourierdlem103  40937  fourierdlem113  40947  fouriersw  40959
  Copyright terms: Public domain W3C validator