Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnxrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnxrlem 40844
Description: Given a point 𝐹 that belongs to an indexed product of (possibly unbounded) open intervals, then 𝐹 belongs to an open product of bounded open intervals that's a subset of the original indexed product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnxrlem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnxrlem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxrlem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxrlem.f (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
ioorrnopnxrlem.l 𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
ioorrnopnxrlem.r 𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
ioorrnopnxrlem.v 𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnxrlem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑖,𝐹,𝑣   𝑖,𝐿   𝑅,𝑖   𝑣,𝑉   𝑖,𝑋,𝑣   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑣)   𝐿(𝑣)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem ioorrnopnxrlem
StepHypRef Expression
1 ioorrnopnxrlem.v . . . 4 𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
3 ioorrnopnxrlem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 iftrue 4125 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑖) = -∞ → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = ((𝐹𝑖) − 1))
54adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = ((𝐹𝑖) − 1))
6 ioorrnopnxrlem.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
8 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
9 fvixp2 39703 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
107, 8, 9syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1110elioored 40094 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
12 1red 10093 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12resubcld 10496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 1) ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐹𝑖) − 1) ∈ ℝ)
155, 14eqeltrd 2730 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
16 iffalse 4128 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴𝑖) = -∞ → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
1716adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
18 neqne 2831 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴𝑖) = -∞ → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
20 ioorrnopnxrlem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
2120ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
23 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
24 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
2611rexrd 10127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ*)
27 ioorrnopnxrlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
2827ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
29 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3021, 28, 10, 29syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3111ltpnfd 11993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < +∞)
3221, 26, 25, 30, 31xrlttrd 12028 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < +∞)
3321, 25, 32xrltned 39886 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≠ +∞)
3433adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ≠ +∞)
3522, 23, 34xrred 39894 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3619, 35syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3717, 36eqeltrd 2730 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
3815, 37pm2.61dan 849 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
39 ioorrnopnxrlem.l . . . . 5 𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
4038, 39fmptd 6425 . . . 4 (𝜑𝐿:𝑋⟶ℝ)
41 iftrue 4125 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑖) = +∞ → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = ((𝐹𝑖) + 1))
4241adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = ((𝐹𝑖) + 1))
4311, 12readdcld 10107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 1) ∈ ℝ)
4443adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) ∈ ℝ)
4542, 44eqeltrd 2730 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
46 iffalse 4128 . . . . . . . 8 (¬ (𝐵𝑖) = +∞ → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
4746adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
48 neqne 2831 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐵𝑖) = +∞ → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
4948adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
5028adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
51 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
5311mnfltd 11996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ < (𝐹𝑖))
54 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
5521, 28, 10, 54syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
5652, 26, 28, 53, 55xrlttrd 12028 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ < (𝐵𝑖))
5752, 28, 56xrgtned 39851 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ≠ -∞)
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ≠ -∞)
59 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
6050, 58, 59xrred 39894 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6149, 60syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6247, 61eqeltrd 2730 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
6345, 62pm2.61dan 849 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
64 ioorrnopnxrlem.r . . . . 5 𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
6563, 64fmptd 6425 . . . 4 (𝜑𝑅:𝑋⟶ℝ)
663, 40, 65ioorrnopn 40843 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
672, 66eqeltrd 2730 . 2 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
686elexd 3245 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ V)
69 ixpfn 7956 . . . . . . 7 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝐹 Fn 𝑋)
706, 69syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
7140ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ)
7271rexrd 10127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ*)
7365ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
7473rexrd 10127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
7539a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖))))
7638elexd 3245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ V)
7775, 76fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
7978, 5eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = ((𝐹𝑖) − 1))
8011ltm1d 10994 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 1) < (𝐹𝑖))
8180adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐹𝑖) − 1) < (𝐹𝑖))
8279, 81eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8377adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
8483, 17eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = (𝐴𝑖))
8530adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
8684, 85eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8782, 86pm2.61dan 849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8811ltp1d 10992 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < ((𝐹𝑖) + 1))
8988adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < ((𝐹𝑖) + 1))
9064a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖))))
9163elexd 3245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ V)
9290, 91fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9493, 42eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = ((𝐹𝑖) + 1))
9594eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) = (𝑅𝑖))
9689, 95breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
9755adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
9892adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9998, 47eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = (𝐵𝑖))
10099eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) = (𝑅𝑖))
10197, 100breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
10296, 101pm2.61dan 849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
10372, 74, 11, 87, 102eliood 40038 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
104103ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
10568, 70, 1043jca 1261 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))))
106 elixp2 7954 . . . . 5 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))))
107105, 106sylibr 224 . . . 4 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
108107, 1syl6eleqr 2741 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
10921adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
11072adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ*)
11115mnfltd 11996 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → -∞ < if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
112111, 5breqtrd 4711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → -∞ < ((𝐹𝑖) − 1))
113 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) = -∞)
114113, 79breq12d 4698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐴𝑖) < (𝐿𝑖) ↔ -∞ < ((𝐹𝑖) − 1)))
115112, 114mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) < (𝐿𝑖))
116109, 110, 115xrltled 39800 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
11784eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) = (𝐿𝑖))
11836, 117eqled 10178 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
119116, 118pm2.61dan 849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
12074adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
12128adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
12244ltpnfd 11993 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) < +∞)
123 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) = +∞)
12494, 123breq12d 4698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝑅𝑖) < (𝐵𝑖) ↔ ((𝐹𝑖) + 1) < +∞))
125122, 124mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) < (𝐵𝑖))
126120, 121, 125xrltled 39800 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
12773adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
128127, 99eqled 10178 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
129126, 128pm2.61dan 849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
130 ioossioo 12303 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖) ∧ (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
13121, 28, 119, 129, 130syl22anc 1367 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
132131ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
133 ss2ixp 7963 . . . . 5 (∀𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
134132, 133syl 17 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1352, 134eqsstrd 3672 . . 3 (𝜑𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
136108, 135jca 553 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
137 eleq2 2719 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣𝐹𝑉))
138 sseq1 3659 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
139137, 138anbi12d 747 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) ↔ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
140139rspcev 3340 . 2 ((𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∧ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
14167, 136, 140syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Xcixp 7950  Fincfn 7997  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  (,)cioo 12213  TopOpenctopn 16129  ℝ^crrx 23217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-phl 20019  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-tng 22436  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-clm 22909  df-cph 23014  df-tch 23015  df-rrx 23219
This theorem is referenced by:  ioorrnopnxr  40845
  Copyright terms: Public domain W3C validator