Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnxr 41038
 Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). Similar to ioorrnopn 41036 but here unbounded intervals are allowed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnxr.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnxr.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxr.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnxr (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopnxr
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 p0ex 4981 . . . . . 6 {∅} ∈ V
21prid2 4432 . . . . 5 {∅} ∈ {∅, {∅}}
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4 ixpeq1 8072 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
5 ixp0x 8089 . . . . . . 7 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
74, 6eqtrd 2804 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
8 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘∅))
98fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
10 rrxtopn0b 41027 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
129, 11eqtrd 2804 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
137, 12eleq12d 2843 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
143, 13mpbird 247 . . 3 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
1514adantl 467 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
16 neqne 2950 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1716adantl 467 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
18 fveq2 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
19 fveq2 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
2018, 19oveq12d 6810 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2120cbvixpv 8079 . . . . . . . . 9 X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))
2221eleq2i 2841 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2322biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2423adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
25 ioorrnopnxr.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2625ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
27 ioorrnopnxr.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
2827ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ*)
29 ioorrnopnxr.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
3029ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ*)
3122biimpri 218 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
3231adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
33 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑖))
3433eqeq1d 2772 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴𝑗) = -∞ ↔ (𝐴𝑖) = -∞))
35 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑖))
3635oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) − 1) = ((𝑓𝑖) − 1))
3734, 36, 33ifbieq12d 4250 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝑓𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
3837cbvmptv 4882 . . . . . . 7 (𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗))) = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝑓𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
39 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
4039eqeq1d 2772 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵𝑗) = +∞ ↔ (𝐵𝑖) = +∞))
4135oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) + 1) = ((𝑓𝑖) + 1))
4240, 41, 39ifbieq12d 4250 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝑓𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
4342cbvmptv 4882 . . . . . . 7 (𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗))) = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝑓𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
44 eqid 2770 . . . . . . 7 X𝑖𝑋 (((𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)))‘𝑖)) = X𝑖𝑋 (((𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)))‘𝑖))
4526, 28, 30, 32, 38, 43, 44ioorrnopnxrlem 41037 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
4624, 45syldan 571 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
4746ralrimiva 3114 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
48 eqid 2770 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
4948rrxtop 41020 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
5025, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
5150adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
52 eltop2 20999 . . . . 5 ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
5351, 52syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
5447, 53mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
5517, 54syldan 571 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
5615, 55pm2.61dan 796 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  ifcif 4223  {csn 4314  {cpr 4316   ↦ cmpt 4861  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Xcixp 8061  Fincfn 8108  1c1 10138   + caddc 10140  +∞cpnf 10272  -∞cmnf 10273  ℝ*cxr 10274   − cmin 10467  (,)cioo 12379  TopOpenctopn 16289  Topctop 20917  ℝ^crrx 23389 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-rnghom 18924  df-drng 18958  df-field 18959  df-subrg 18987  df-abv 19026  df-staf 19054  df-srng 19055  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lmhm 19234  df-lvec 19315  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-refld 20167  df-phl 20187  df-dsmm 20292  df-frlm 20307  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-xms 22344  df-ms 22345  df-nm 22606  df-ngp 22607  df-tng 22608  df-nrg 22609  df-nlm 22610  df-clm 23081  df-cph 23186  df-tch 23187  df-rrx 23391 This theorem is referenced by:  ioovonmbl  41405
 Copyright terms: Public domain W3C validator