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Theorem ioorrnopnlem 41035
Description: The a point in an indexed product of open intervals is contained in an open ball that is contained in the indexed product of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnlem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnlem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ioorrnopnlem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopnlem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopnlem.f (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
ioorrnopnlem.h 𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
ioorrnopnlem.e 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
ioorrnopnlem.v 𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸)
ioorrnopnlem.d 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnlem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑣,𝐴   𝐵,𝑔   𝑣,𝐵   𝐷,𝑔,𝑖   𝑔,𝐸,𝑖   𝑔,𝐹,𝑖   𝑣,𝐹,𝑖   𝑣,𝑉   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘   𝑖,𝑋,𝑣   𝜑,𝑓,𝑔,𝑘   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣)   𝐴(𝑓,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑘)   𝐷(𝑣,𝑓,𝑘)   𝐸(𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑘)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)

Proof of Theorem ioorrnopnlem
StepHypRef Expression
1 ioorrnopnlem.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 ioorrnopnlem.d . . . . 5 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
31, 2rrndsxmet 41034 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
4 nfv 1994 . . . . . 6 𝑖𝜑
5 reex 10228 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
7 ioossre 12439 . . . . . . 7 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
94, 6, 8ixpssmapc 39758 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
10 ioorrnopnlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
119, 10sseldd 3751 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
12 ioorrnopnlem.e . . . . . 6 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
13 ioorrnopnlem.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
15 ioorrnopnlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1615ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1710adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
18 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
19 fvixp2 39902 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
2017, 18, 19syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
217, 20sseldi 3748 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
2216, 21resubcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
23 ioorrnopnlem.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2423ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
2524rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
2616rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
27 iooltub 40249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
2825, 26, 20, 27syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
2921, 16posdifd 10815 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) < (𝐵𝑖) ↔ 0 < ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))))
3028, 29mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
3122, 30elrpd 12071 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ+)
3221, 24resubcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
33 ioogtlb 40232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3425, 26, 20, 33syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3524, 21posdifd 10815 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) < (𝐹𝑖) ↔ 0 < ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
3634, 35mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
3732, 36elrpd 12071 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ+)
3831, 37ifcld 4268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+)
3938ralrimiva 3114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+)
40 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
4140rnmptss 6534 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝑋 if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+ → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ⊆ ℝ+)
4239, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ⊆ ℝ+)
4314, 42eqsstrd 3786 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ+)
44 ltso 10319 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → < Or ℝ)
4640rnmptfi 39865 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ Fin)
471, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ Fin)
4813, 47syl5eqel 2853 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
4938elexd 3363 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ V)
50 ioorrnopnlem.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
514, 49, 40, 50rnmptn0 39925 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ≠ ∅)
5214, 51eqnetrd 3009 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ≠ ∅)
53 rpssre 12045 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
5543, 54sstrd 3760 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
56 fiinfcl 8562 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ (𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 ≠ ∅ ∧ 𝐻 ⊆ ℝ)) → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5745, 48, 52, 55, 56syl13anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5843, 57sseldd 3751 . . . . . 6 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5912, 58syl5eqel 2853 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
60 rpxr 12042 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ*)
6159, 60syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
62 eqid 2770 . . . . 5 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
6362blopn 22524 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷))
643, 11, 61, 63syl3anc 1475 . . 3 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷))
65 ioorrnopnlem.v . . . . 5 𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸)
6665a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
671rrxtopnfi 41017 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
682eqcomi 2779 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷)
7069fveq2d 6336 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))) = (MetOpen‘𝐷))
7167, 70eqtrd 2804 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘𝐷))
7266, 71eleq12d 2843 . . 3 (𝜑 → (𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷)))
7364, 72mpbird 247 . 2 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
74 xmetpsmet 22372 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
753, 74syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
76 blcntrps 22436 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
7775, 11, 59, 76syl3anc 1475 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
7866eqcomd 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) = 𝑉)
7977, 78eleqtrd 2851 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
80 nfv 1994 . . . . 5 𝑔𝜑
81 elmapfn 8031 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑔 Fn 𝑋)
82813ad2ant2 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → 𝑔 Fn 𝑋)
83253ad2antl1 1199 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
84263ad2antl1 1199 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
85 simpl2 1228 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
86 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
87 elmapi 8030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
8887adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
89 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
9088, 89ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
9185, 86, 90syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
92243ad2antl1 1199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
9353, 59sseldi 3748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
9493adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
9521, 94resubcld 10659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) ∈ ℝ)
96953ad2antl1 1199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) ∈ ℝ)
9753, 38sseldi 3748 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
9812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < ))
99 infxrrefi 40111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐻 ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 ≠ ∅) → inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
10055, 48, 52, 99syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
101100eqcomd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) = inf(𝐻, ℝ*, < ))
10298, 101eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
103102adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
104 ressxr 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℝ*
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
10655, 105sstrd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ*)
107106adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐻 ⊆ ℝ*)
10840elrnmpt1 5512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑋 ∧ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ V) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10918, 49, 108syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
110109, 13syl6eleqr 2860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ 𝐻)
111 infxrlb 12368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ⊆ ℝ* ∧ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ 𝐻) → inf(𝐻, ℝ*, < ) ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
112107, 110, 111syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → inf(𝐻, ℝ*, < ) ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
113103, 112eqbrtrd 4806 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
114 min2 12225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11522, 32, 114syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11694, 97, 32, 113, 115letrd 10395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11794, 21, 24, 116lesubd 10832 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ ((𝐹𝑖) − 𝐸))
1181173ad2antl1 1199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ ((𝐹𝑖) − 𝐸))
11921adantlr 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
12090adantll 685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
121119, 120resubcld 10659 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℝ)
1221213adantl3 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℝ)
1231, 2rrndsmet 41033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
124123ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
12511ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
126 simplr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
127 metcl 22356 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
128124, 125, 126, 127syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
1291283adantl3 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
13094adantlr 686 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
1311303adantl3 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
132121recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℂ)
133132abscld 14382 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ∈ ℝ)
134121leabsd 14360 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
1351ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
136 ixpf 8083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝐹:𝑋 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
13710, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑋 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1388ralrimiva 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
139 iunss 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
140138, 139sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
141137, 140fssd 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
142141ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
143126, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
144 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
145 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
146135, 142, 143, 144, 145rrnprjdstle 41032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ≤ (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔))
147 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
148 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋)
149147, 148rrxdsfi 41016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1501, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
151150, 69eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = 𝐷)
152151oveqd 6809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
153152ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
154146, 153breqtrd 4810 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
155121, 133, 128, 134, 154letrd 10395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
1561553adantl3 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
157 simpl3 1230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸)
158122, 129, 131, 156, 157lelttrd 10396 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸)
159 ltsub23 10709 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
160119, 120, 130, 159syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
1611603adantl3 1172 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
162158, 161mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖))
16392, 96, 91, 118, 162lelttrd 10396 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝑔𝑖))
16421, 94readdcld 10270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ∈ ℝ)
1651643ad2antl1 1199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ∈ ℝ)
166163ad2antl1 1199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
167120, 119resubcld 10659 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
1681673adantl3 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
169167leabsd 14360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (abs‘((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖))))
170120recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℂ)
171119recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
172170, 171abssubd 14399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
173169, 172breqtrd 4810 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
174167, 133, 128, 173, 154letrd 10395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
1751743adantl3 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
176168, 129, 131, 175, 157lelttrd 10396 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) < 𝐸)
1771193adantl3 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
17891, 177, 131ltsubadd2d 10826 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) < 𝐸 ↔ (𝑔𝑖) < ((𝐹𝑖) + 𝐸)))
179176, 178mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) < ((𝐹𝑖) + 𝐸))
180 min1 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18122, 32, 180syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18294, 97, 22, 113, 181letrd 10395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18321, 94, 16leaddsub2d 10830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖) ↔ 𝐸 ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))))
184182, 183mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖))
1851843ad2antl1 1199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖))
18691, 165, 166, 179, 185ltletrd 10398 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) < (𝐵𝑖))
18783, 84, 91, 163, 186eliood 40235 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
188187ralrimiva 3114 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
18982, 188jca 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → (𝑔 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
190 vex 3352 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
191190elixp 8068 . . . . . 6 (𝑔X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ (𝑔 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
192189, 191sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → 𝑔X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19380, 75, 11, 61, 192ballss3 39785 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19466, 193eqsstrd 3786 . . 3 (𝜑𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19579, 194jca 495 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
196 eleq2 2838 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣𝐹𝑉))
197 sseq1 3773 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
198196, 197anbi12d 608 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) ↔ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
199198rspcev 3458 . 2 ((𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∧ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
20073, 195, 199syl2anc 565 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  wrex 3061  Vcvv 3349  wss 3721  c0 4061  ifcif 4223   ciun 4652   class class class wbr 4784  cmpt 4861   Or wor 5169  ran crn 5250   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  𝑚 cmap 8008  Xcixp 8061  Fincfn 8108  infcinf 8502  cr 10136  0cc0 10137   + caddc 10140  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  2c2 11271  +crp 12034  (,)cioo 12379  cexp 13066  csqrt 14180  abscabs 14181  Σcsu 14623  distcds 16157  TopOpenctopn 16289  PsMetcpsmet 19944  ∞Metcxmt 19945  Metcme 19946  ballcbl 19947  MetOpencmopn 19950  ℝ^crrx 23389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-rnghom 18924  df-drng 18958  df-field 18959  df-subrg 18987  df-staf 19054  df-srng 19055  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-refld 20167  df-dsmm 20292  df-frlm 20307  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-nm 22606  df-tng 22608  df-tch 23187  df-rrx 23391
This theorem is referenced by:  ioorrnopn  41036
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