Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopn 40843
Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopn.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopn.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
ioorrnopn (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 p0ex 4883 . . . . . 6 {∅} ∈ V
21prid2 4330 . . . . 5 {∅} ∈ {∅, {∅}}
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4 ixpeq1 7961 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
5 ixp0x 7978 . . . . . . 7 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
74, 6eqtrd 2685 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
8 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘∅))
98fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
10 rrxtopn0b 40834 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
129, 11eqtrd 2685 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
137, 12eleq12d 2724 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
143, 13mpbird 247 . . 3 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
1514adantl 481 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
16 neqne 2831 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1716adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
18 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
19 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
2018, 19oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2120cbvixpv 7968 . . . . . . . . 9 X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))
2221eleq2i 2722 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2322biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2423adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
25 ioorrnopn.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2625ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
2722, 26sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
28 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑋 ≠ ∅)
2922, 28sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
30 ioorrnopn.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
3130ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3222, 31sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
33 ioorrnopn.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
3433ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
3522, 34sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
36 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
3722, 36sylan2br 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
38 eqid 2651 . . . . . . 7 ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
39 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
40 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑖))
4139, 40oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) = ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)))
42 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑖))
4340, 42oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)))
4441, 43breq12d 4698 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)) ↔ ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4544, 41, 43ifbieq12d 4146 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗))) = if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4645cbvmptv 4783 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))) = (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4746rneqi 5384 . . . . . . . 8 ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))) = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4847infeq1i 8425 . . . . . . 7 inf(ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)))), ℝ, < )
49 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))), ℝ, < )) = (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))), ℝ, < ))
50 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑔 → (𝑎𝑘) = (𝑔𝑘))
5150oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘)) = ((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘)))
5251oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑔 → (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))
5352sumeq2ad 14478 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑔 → Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))
5453fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑔 → (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2)))
55 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = → (𝑏𝑘) = (𝑘))
5655oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = → ((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘)) = ((𝑔𝑘) − (𝑘)))
5756oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = → (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2))
5857sumeq2ad 14478 . . . . . . . . 9 (𝑏 = → Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2))
5958fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑏 = → (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2)))
6054, 59cbvmpt2v 6777 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2)))
6127, 29, 32, 35, 37, 38, 48, 49, 60ioorrnopnlem 40842 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
6224, 61syldan 486 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
6362ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
64 eqid 2651 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
6564rrxtop 40827 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
6625, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
6766adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
68 eltop2 20827 . . . . 5 ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
6967, 68syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
7063, 69mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
7117, 70syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
7215, 71pm2.61dan 849 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑚 cmap 7899  Xcixp 7950  Fincfn 7997  infcinf 8388  cr 9973   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  2c2 11108  (,)cioo 12213  cexp 12900  csqrt 14017  Σcsu 14460  TopOpenctopn 16129  ballcbl 19781  Topctop 20746  ℝ^crrx 23217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-phl 20019  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-tng 22436  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-clm 22909  df-cph 23014  df-tch 23015  df-rrx 23219
This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  40844
  Copyright terms: Public domain W3C validator