MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv2 23539
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv2 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorebas 12464 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
2 ioorf.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
32ioorval 23538 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,) → (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩))
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩)
5 ifnefalse 4238 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩) = ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩)
6 n0 4070 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
7 eliooxr 12421 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
87exlimiv 2003 . . . . . . 7 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
96, 8sylbi 207 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
109simpld 477 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ*)
119simprd 482 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 id 22 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
13 df-ioo 12368 . . . . . 6 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
14 idd 24 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤 < 𝐵))
15 xrltle 12171 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
16 idd 24 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴 < 𝑤))
17 xrltle 12171 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
1813, 14, 15, 16, 17ixxlb 12386 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
1910, 11, 12, 18syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
2013, 14, 15, 16, 17ixxub 12385 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
2110, 11, 12, 20syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
2219, 21opeq12d 4557 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
235, 22eqtrd 2790 . 2 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
244, 23syl5eq 2802 1 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wex 1849  wcel 2135  wne 2928  c0 4054  ifcif 4226  cop 4323   class class class wbr 4800  cmpt 4877  ran crn 5263  cfv 6045  (class class class)co 6809  supcsup 8507  infcinf 8508  0cc0 10124  *cxr 10261   < clt 10262  (,)cioo 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-q 11978  df-ioo 12368
This theorem is referenced by:  ioorinv  23540  ioorcl  23541
  Copyright terms: Public domain W3C validator