MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooretop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooretop 22790
Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
iooretop (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop
StepHypRef Expression
1 retopbas 22785 . . 3 ran (,) ∈ TopBases
2 bastg 20992 . . 3 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
31, 2ax-mp 5 . 2 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4 ioorebas 12488 . 2 (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
53, 4sselii 3741 1 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  wss 3715  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6814  (,)cioo 12388  topGenctg 16320  TopBasesctb 20971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-ioo 12392  df-topgen 16326  df-bases 20972
This theorem is referenced by:  icccld  22791  icopnfcld  22792  iocmnfcld  22793  zcld  22837  iccntr  22845  reconnlem1  22850  reconnlem2  22851  icoopnst  22959  iocopnst  22960  dvlip  23975  dvlipcn  23976  dvivthlem1  23990  dvne0  23993  lhop2  23997  lhop  23998  dvfsumle  24003  dvfsumabs  24005  dvfsumlem2  24009  ftc1  24024  dvloglem  24614  advlog  24620  advlogexp  24621  cxpcn3  24709  loglesqrt  24719  lgamgulmlem2  24976  log2sumbnd  25453  dya2iocbrsiga  30667  dya2icobrsiga  30668  poimir  33773  ftc1cnnc  33815  areacirclem1  33831  rfcnpre1  39695  rfcnpre2  39707  ioontr  40257  iocopn  40267  icoopn  40272  islptre  40372  limciccioolb  40374  limcicciooub  40390  limcresiooub  40395  limcresioolb  40396  icccncfext  40621  itgsin0pilem1  40686  itgsbtaddcnst  40719  dirkercncflem2  40842  dirkercncflem3  40843  dirkercncflem4  40844  fourierdlem28  40873  fourierdlem32  40877  fourierdlem33  40878  fourierdlem48  40892  fourierdlem49  40893  fourierdlem56  40900  fourierdlem57  40901  fourierdlem59  40903  fourierdlem60  40904  fourierdlem61  40905  fourierdlem62  40906  fourierdlem68  40912  fourierdlem72  40916  fourierdlem73  40917  fouriersw  40969  iooborel  41090
  Copyright terms: Public domain W3C validator