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Theorem ioorcl2 23386
Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorcl2 (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem ioorcl2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3964 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2 elioore 12243 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
4 peano2re 10247 . . . . . . . . . 10 ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
63, 5resubcld 10496 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
76rexrd 10127 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ*)
8 eliooxr 12270 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
109simpld 474 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
113rexrd 10127 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*)
12 ltp1 10899 . . . . . . . . 9 ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
1312adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
14 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
16 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
17 ovolge0 23295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
19 lep1 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
2114, 15, 5, 18, 20letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
223, 5subge02d 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧))
2321, 22mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧)
24 ovolioo 23382 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
256, 3, 23, 24syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
263recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
275recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℂ)
2826, 27nncand 10435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
2925, 28eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
31 iooss1 12248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
3210, 31sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
339simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵))
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵))
3635simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 < 𝐵)
37 xrltle 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝐵𝑧𝐵))
3811, 33, 37syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐵𝑧𝐵))
3936, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧𝐵)
40 iooss2 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑧𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4133, 39, 40syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4332, 42sstrd 3646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
44 ovolss 23299 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
4543, 16, 44sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
4630, 45eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
4746ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))))
48 xrlenlt 10141 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴))
4910, 7, 48syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴))
505, 15lenltd 10221 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
5147, 49, 503imtr3d 282 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 → ¬ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
5213, 51mt4d 152 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴)
5335simpld 474 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑧)
54 xrre2 12039 . . . . . . 7 ((((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴𝐴 < 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
557, 10, 11, 52, 53, 54syl32anc 1374 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
563, 5readdcld 10107 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
5756rexrd 10127 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ*)
583, 5addge01d 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
5921, 58mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
60 ovolioo 23382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
613, 56, 59, 60syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
6226, 27pncan2d 10432 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
6361, 62eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
65 iooss2 12249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
6633, 65sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
67 xrltle 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑧𝐴𝑧))
6810, 11, 67syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧𝐴𝑧))
6953, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑧)
70 iooss1 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑧) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7110, 69, 70syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7366, 72sstrd 3646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
74 ovolss 23299 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
7573, 16, 74sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
7664, 75eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
7776ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))))
78 xrlenlt 10141 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
7957, 33, 78syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
8077, 79, 503imtr3d 282 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ¬ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
8113, 80mt4d 152 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
82 xrre2 12039 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝐵𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8311, 33, 57, 36, 81, 82syl32anc 1374 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8455, 83jca 553 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
8584ex 449 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
8685exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
871, 86sylbi 207 . 2 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
8887imp 444 1 (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  (,)cioo 12213  vol*covol 23277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280
This theorem is referenced by:  ioorcl  23391
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