Theorem ioombl1lem2 23527

Description: Lemma for ioombl1 23530. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioombl1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(,)+∞)
ioombl1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ioombl1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℝ)
ioombl1.v	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
ioombl1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ioombl1.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ioombl1.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ioombl1.u	⊢ 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ioombl1.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ioombl1.f2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))
ioombl1.f3	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
ioombl1.p	⊢ 𝑃 = (1st ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.q	⊢ 𝑄 = (2nd ‘(𝐹‘𝑛))
ioombl1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄), 𝑄⟩)
ioombl1.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨𝑃, if(if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃) ≤ 𝑄, if(𝑃 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑃), 𝑄)⟩)

Assertion

Ref	Expression
ioombl1lem2	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem ioombl1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl1.f1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
3		ioombl1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
4	2, 3	ovolsf 23441	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
6		frn 6214	. . . . 5 ⊢ (𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
8		icossxr 12451	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
9	7, 8	syl6ss 3756	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ*)
10		supxrcl 12338	. . 3 ⊢ (ran 𝑆 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12		ioombl1.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
13		ioombl1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 12065	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 10261	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
16		mnfxr 10288	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
18		ffn 6206	. . . . . 6 ⊢ (𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝑆 Fn ℕ)
19	5, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn ℕ)
20		1nn 11223	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
21		fnfvelrn 6519	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
22	19, 20, 21	sylancl 697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆)
23	9, 22	sseldd 3745	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ*)
24		rge0ssre 12473	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25		ffvelrn 6520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
26	5, 20, 25	sylancl 697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ (0[,)+∞))
27	24, 26	sseldi 3742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ∈ ℝ)
28		mnflt 12150	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑆‘1))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑆‘1))
30		supxrub 12347	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ* ∧ (𝑆‘1) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
31	9, 22, 30	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
32	17, 23, 11, 29, 31	xrltletrd 12185	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
33		ioombl1.f3	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
34		xrre 12193	. 2 ⊢ (((sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
35	11, 15, 32, 33, 34	syl22anc 1478	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ifcif 4230  ⟨cop 4327  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ran crn 5267   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1^st c1st 7331  2^nd c2nd 7332  supcsup 8511  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  ℝ^*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  ℕcn 11212  ℝ⁺crp 12025  (,)cioo 12368  [,)cico 12370  seqcseq 12995  abscabs 14173  vol*covol 23431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175

This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  23529