Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioombl 23531
 Description: An open real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ioombl (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol

Proof of Theorem ioombl
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snunioo 12489 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
213expa 1112 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
32adantrr 755 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
4 lbico1 12419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
543expa 1112 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
65adantrr 755 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
76snssd 4483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
8 iccid 12411 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
98ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
109ineq1d 3954 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)))
11 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 df-icc 12373 . . . . . . . . . . 11 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
14 df-ioo 12370 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
15 xrltnle 10295 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
1613, 14, 15ixxdisj 12381 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
1711, 11, 12, 16syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
1810, 17eqtr3d 2794 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
19 uneqdifeq 4199 . . . . . . . 8 (({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵)))
207, 18, 19syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵)))
213, 20mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
22 mnfxr 10286 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
24 simprr 813 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ < 𝐴)
25 simprl 811 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 < 𝐵)
26 xrre2 12192 . . . . . . . . 9 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2723, 11, 12, 24, 25, 26syl32anc 1485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 icombl 23530 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
2927, 12, 28syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
3027snssd 4483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ ℝ)
31 ovolsn 23461 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐴}) = 0)
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (vol*‘{𝐴}) = 0)
33 nulmbl 23501 . . . . . . . 8 (({𝐴} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴}) = 0) → {𝐴} ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ∈ dom vol)
35 difmbl 23509 . . . . . . 7 (((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴} ∈ dom vol) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol)
3629, 34, 35syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol)
3721, 36eqeltrrd 2838 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
3837expr 644 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
39 uncom 3898 . . . . . . . . 9 ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞))
4022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
41 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
42 pnfxr 10282 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈ ℝ*)
44 simpll 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
45 mnfle 12160 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
4645ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
47 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
4840, 44, 41, 46, 47xrlelttrd 12182 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵)
49 pnfge 12155 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
5041, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
51 df-ico 12372 . . . . . . . . . . 11 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
52 xrlenlt 10293 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
53 xrltletr 12179 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵 ≤ +∞) → 𝑤 < +∞))
54 xrltletr 12179 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝑤) → -∞ < 𝑤))
5514, 51, 52, 14, 53, 54ixxun 12382 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐵𝐵 ≤ +∞)) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
5640, 41, 43, 48, 50, 55syl32anc 1485 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
5739, 56syl5eq 2804 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)+∞))
58 ioomax 12439 . . . . . . . 8 (-∞(,)+∞) = ℝ
5957, 58syl6eq 2808 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ)
60 ssun1 3917 . . . . . . . . 9 (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵))
6160, 59syl5sseq 3792 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
62 incom 3946 . . . . . . . . 9 ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞))
6314, 51, 52ixxdisj 12381 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
6440, 41, 43, 63syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
6562, 64syl5eq 2804 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ∅)
66 uneqdifeq 4199 . . . . . . . 8 (((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ∅) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵)))
6761, 65, 66syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵)))
6859, 67mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵))
69 rembl 23506 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
70 xrleloe 12168 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
7141, 42, 70sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
7250, 71mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
73 xrre2 12192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7473expr 644 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
7542, 74mp3anl3 1567 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
7675orim1d 920 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)))
7772, 76mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
78 icombl1 23529 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
79 oveq1 6818 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = (+∞[,)+∞))
80 pnfge 12155 . . . . . . . . . . . . 13 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ≤ +∞
82 ico0 12412 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞))
8342, 42, 82mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞)
8481, 83mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 (+∞[,)+∞) = ∅
8579, 84syl6eq 2808 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = ∅)
86 0mbl 23505 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ dom vol
8785, 86syl6eqel 2845 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
8878, 87jaoi 393 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
8977, 88syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
90 difmbl 23509 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
9169, 89, 90sylancr 698 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
9268, 91eqeltrrd 2838 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞(,)𝐵) ∈ dom vol)
93 oveq1 6818 . . . . . 6 (-∞ = 𝐴 → (-∞(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐵))
9493eleq1d 2822 . . . . 5 (-∞ = 𝐴 → ((-∞(,)𝐵) ∈ dom vol ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
9592, 94syl5ibcom 235 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ = 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
96 xrleloe 12168 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
9722, 44, 96sylancr 698 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
9846, 97mpbid 222 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴))
9938, 95, 98mpjaod 395 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
100 ioo0 12391 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
101 xrlenlt 10293 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
102101ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
103100, 102bitrd 268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
104103biimpar 503 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
105104, 86syl6eqel 2845 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
10699, 105pm2.61dan 867 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
107 ndmioo 12393 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
108107, 86syl6eqel 2845 . 2 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
109106, 108pm2.61i 176 1 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137   ∖ cdif 3710   ∪ cun 3711   ∩ cin 3712   ⊆ wss 3713  ∅c0 4056  {csn 4319   class class class wbr 4802  dom cdm 5264  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℝcr 10125  0cc0 10126  +∞cpnf 10261  -∞cmnf 10262  ℝ*cxr 10263   < clt 10264   ≤ cle 10265  (,)cioo 12366  [,)cico 12368  [,]cicc 12369  vol*covol 23429  volcvol 23430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xadd 12138  df-ioo 12370  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-xmet 19939  df-met 19940  df-ovol 23431  df-vol 23432 This theorem is referenced by:  iccmbl  23532  ovolioo  23534  volioo  23535  ioovolcl  23536  uniioovol  23545  uniioombllem4  23552  uniioombllem5  23553  opnmblALT  23569  mbfid  23600  ditgcl  23819  ditgswap  23820  ditgsplitlem  23821  ftc1lem1  23995  ftc1lem2  23996  ftc1a  23997  ftc1lem4  23999  ftc2  24004  ftc2ditglem  24005  itgsubstlem  24008  ftc2re  30983  fdvposlt  30984  fdvposle  30986  itgexpif  30991  circlemeth  31025  itg2gt0cn  33776  ftc1cnnclem  33794  ftc1anclem7  33802  ftc1anclem8  33803  ftc1anc  33804  ftc2nc  33805  areacirc  33816  iocmbl  38298  cnioobibld  38299  itgpowd  38300  lhe4.4ex1a  39028  itgsin0pilem1  40666  iblioosinexp  40669  itgsinexplem1  40670  itgsinexp  40671  itgcoscmulx  40686  volioc  40689  itgsincmulx  40691  iblcncfioo  40695  itgiccshift  40697  itgperiod  40698  itgsbtaddcnst  40699  volico  40701  volioof  40705  wallispilem2  40784  dirkeritg  40820  fourierdlem16  40841  fourierdlem21  40846  fourierdlem22  40847  fourierdlem39  40864  fourierdlem73  40897  fourierdlem83  40907  fourierdlem103  40927  fourierdlem104  40928  fourierdlem111  40935  fourierdlem112  40936  sqwvfoura  40946  sqwvfourb  40947  etransclem18  40970  etransclem23  40975  ovolval4lem1  41367  ovolval5lem1  41370
 Copyright terms: Public domain W3C validator