Theorem iooltub 40255

Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooltub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 12421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
3	1, 2	syl6bi 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
4	3	3impia 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  ℝ^*cxr 10275   < clt 10276  (,)cioo 12380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-ioo 12384

This theorem is referenced by:  iooshift  40267  icoopn  40270  iooiinicc  40287  iooltubd  40289  iooiinioc  40301  lptre2pt  40390  limcresiooub  40392  limcresioolb  40393  sinaover2ne0  40597  dvbdfbdioolem1  40661  dvbdfbdioolem2  40662  ioodvbdlimc1lem1  40664  ioodvbdlimc2lem  40667  fourierdlem27  40868  fourierdlem28  40869  fourierdlem40  40881  fourierdlem41  40882  fourierdlem46  40886  fourierdlem48  40888  fourierdlem49  40889  fourierdlem57  40897  fourierdlem59  40899  fourierdlem60  40900  fourierdlem61  40901  fourierdlem62  40902  fourierdlem64  40904  fourierdlem68  40908  fourierdlem73  40913  fourierdlem76  40916  fourierdlem78  40918  fourierdlem84  40924  fourierdlem90  40930  fourierdlem92  40932  fourierdlem97  40937  fourierdlem103  40943  fourierdlem104  40944  fourierdlem111  40951  sqwvfoura  40962  sqwvfourb  40963  fouriersw  40965  etransclem23  40991  qndenserrnbllem  41031  ioorrnopnlem  41041  ioorrnopnxrlem  41043  hspdifhsp  41350  hoiqssbllem1  41356  hoiqssbllem2  41357  hspmbllem2  41361  iunhoiioolem  41409  pimiooltgt  41441  pimdecfgtioo  41447  pimincfltioo  41448  smfaddlem1  41491  smfmullem1  41518  smfmullem2  41519