Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioojoin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioojoin 12496
 Description: Join two open intervals to create a third. (Contributed by NM, 11-Aug-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ioojoin (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem ioojoin
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unass 3913 . 2 (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶)))
2 snunioo 12491 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
323expa 1112 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝐶) → ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
433adantl1 1172 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝐶) → ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
54adantrl 754 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
65uneq2d 3910 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶))) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)))
7 df-ioo 12372 . . . 4 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
8 df-ico 12374 . . . 4 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
9 xrlenlt 10295 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
10 xrlttr 12166 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝑤 < 𝐶))
11 xrltletr 12181 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
127, 8, 9, 7, 10, 11ixxun 12384 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
136, 12eqtrd 2794 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶))) = (𝐴(,)𝐶))
141, 13syl5eq 2806 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∪ cun 3713  {csn 4321   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  (,)cioo 12368  [,)cico 12370 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375 This theorem is referenced by:  reconnlem1  22830  itgsplitioo  23803  lhop  23978  iocunico  38298
 Copyright terms: Public domain W3C validator