Theorem iooinlbub 40041

Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooinlbub	⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjr 4051	. 2 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elpri 4230	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		lbioo 12244	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2718	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	3, 4	mtbiri 316	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6		ubioo 12245	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7		eleq1 2718	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
8	6, 7	mtbiri 316	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9	5, 8	jaoi 393	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
10	2, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11	1, 10	mprgbir 2956	1 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 382   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∩ cin 3606  ∅c0 3948  {cpr 4212  (class class class)co 6690  (,)cioo 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-ioo 12217

This theorem is referenced by:  iccdifioo  40059  iccdifprioo  40060